一元二次方程必會(huì)(一元二次方程的知識(shí)要點(diǎn))

1.一元二次方程的知識(shí)要點(diǎn)

定義：在一個(gè)等式中，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)的是2次的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程有四個(gè)特點(diǎn)：（1）只含有一個(gè)未知數(shù)；（2）未知數(shù)的最高項(xiàng)的次數(shù)和是2;(3)是整式方程.要判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對(duì)它進(jìn)行整理.如果能整理為 ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，則這個(gè)方程就為一元二次方程. （4）將方程化為一般形式：ax^2+bx+c=0時(shí)，應(yīng)滿(mǎn)足（a≠0）

基本知識(shí)講解：

1. 只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。

即一個(gè)一元二次方程必須滿(mǎn)足以下三個(gè)條件：（1）方程是整式方程；（2）它只含有一個(gè)未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2。

2. 一元二次方程的一般形式是：ax2 +bx+c=0(a≠0)，任何一個(gè)一元二次方程都可以化為一般形式，其中ax2稱(chēng)為二次項(xiàng)，a稱(chēng)為二次項(xiàng)系數(shù)，bx稱(chēng)為一次項(xiàng)，b稱(chēng)為一次項(xiàng)系數(shù)，c稱(chēng)為常數(shù)項(xiàng)。

2.一元二次方程的知識(shí)要點(diǎn)

定義：在一個(gè)等式中，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)的是2次的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程有四個(gè)特點(diǎn)：（1）只含有一個(gè)未知數(shù)；（2）未知數(shù)的最高項(xiàng)的次數(shù)和是2;(3)是整式方程.要判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對(duì)它進(jìn)行整理.如果能整理為 ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，則這個(gè)方程就為一元二次方程. （4）將方程化為一般形式：ax^2+bx+c=0時(shí)，應(yīng)滿(mǎn)足（a≠0）

基本知識(shí)講解：

1. 只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。

即一個(gè)一元二次方程必須滿(mǎn)足以下三個(gè)條件：（1）方程是整式方程；（2）它只含有一個(gè)未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2。

2. 一元二次方程的一般形式是：ax2 +bx+c=0(a≠0)，任何一個(gè)一元二次方程都可以化為一般形式，其中ax2稱(chēng)為二次項(xiàng)，a稱(chēng)為二次項(xiàng)系數(shù)，bx稱(chēng)為一次項(xiàng)，b稱(chēng)為一次項(xiàng)系數(shù)，c稱(chēng)為常數(shù)項(xiàng)。

3.一元二次方程重難點(diǎn)知識(shí)詳解

重難點(diǎn)知識(shí)解讀

知識(shí)點(diǎn)1 一元二次方程的意義

只含一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程.

對(duì)于這個(gè)定義，我們可從以下幾方面去理解：

(1)它必須是一個(gè)整式方程.

(2)只含一個(gè)未知數(shù).

(3)經(jīng)過(guò)去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)后，含未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是2.

一個(gè)方程只有同時(shí)滿(mǎn)足以上三個(gè)條件時(shí)，才是一元二次方程.例如，x2=1,

-x2=x+1,(x+1)(x-3)=2,x(x2-1)=x(x+1)(x-2)等都是一元二次方程；

知識(shí)點(diǎn)2 一元二次方程的一般形式及二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)

任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過(guò)整理，都可以化為：ax2+bx+c=0(d≠0)的形式，這種形式叫做一元二次方程的一般形式.其中ax2叫二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng).

在一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)中，一次項(xiàng)系數(shù)b，常數(shù)項(xiàng)c可以是任意實(shí)數(shù)，但二次項(xiàng)系數(shù)a是不等于零的實(shí)數(shù)，因?yàn)閍=o時(shí)，方程就不是一元二次方程了.例如，方程x2=0,x2+x=0都是一元二次方程的一般形式.

注意點(diǎn)：（1）形如ax2+bx+c=0的方程不一定是一元二次方程.當(dāng)a≠0時(shí)，是一元二次方程；當(dāng)a=0且b≠0時(shí)，是一元一次方程.

(2)寫(xiě)二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)時(shí)，不要漏掉前面的符號(hào).

知識(shí)點(diǎn)3 一元二次方程的解

詳細(xì)內(nèi)容你可以看： /Communication/XDetail.aspx?id=1998

4.初三數(shù)學(xué),一元二次方程知識(shí)點(diǎn)

一元二次方程知識(shí)點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：根的判別式定理及逆定理的正確理解和運(yùn)用

教學(xué)難點(diǎn)：根的判別式定理及逆定理的運(yùn)用。

教學(xué)關(guān)鍵：對(duì)根的判別式定理及其逆定理使用條件的透徹理解。 主要知識(shí)點(diǎn)：

一、一元二次方程

1、一元二次方程：含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：ax2?bx?c?0(a?0)，它的特征是：等式左邊加一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的二次多項(xiàng)式，等式右邊是零，其中ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)。

二、一元二次方程的解法

1、直接開(kāi)平方法：

利用平方根的定義直接開(kāi)平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開(kāi)平方法。直接開(kāi)平方法適用于解形如（x?a）2?b的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，x?a是b的平方根，當(dāng)b?0時(shí)，x?a??b,x??a?b，當(dāng)b<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

2、配方法：

配方法的理論根據(jù)是完全平方公式a2?2ab?b2?（a?b）2，把公式中的a看做未知數(shù)x，并用x代替，則有x2?2bx?b2?（x?b）2。

配方法的步驟：先把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，再把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1，再同時(shí)加上1次項(xiàng)的系數(shù)的一半的平方，最后配成完全平方公式

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的求根公式：

x??b?b?4ac

2a2(b?4ac?0) 2

公式法的步驟：就把一元二次方程的各系數(shù)分別代入，這里二次項(xiàng)的系數(shù)為a，一次項(xiàng)的系數(shù)為b，常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為c

4、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)單易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步驟：把方程右邊化為0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（這里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化為乘積的形式

5、韋達(dá)定理 利用韋達(dá)定理去了解，韋達(dá)定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之積=c/a也可以表示為x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。利用韋達(dá)定理，可以求出一元二次方程中的各系數(shù)，在題目中很常用

三、一元二次方程根的判別式

根的判別式

一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)中，b2?4ac叫做一元二次方程22ax?bx?c?0(a?0)的根的判別式，通常用“?”來(lái)表示，即??b?4ac I當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

II當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根；

III當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根

四、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

如果方程ax2?bx?c?0(a?0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1,x2，那么x1?x2??

x1x2?caba，。也就是說(shuō)，對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方

程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商。

五、一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應(yīng)用因式分解法時(shí)，一般要先將方程寫(xiě)成一般形式，同時(shí)應(yīng)使二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)。 直接開(kāi)平方法是最基本的方法。

公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程（有人稱(chēng)之為萬(wàn)能法），在使用公式法時(shí)，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數(shù)，而且在用公式前應(yīng)先計(jì)算根的判別式的值，以便判斷方程是否有解。

配方法是推導(dǎo)公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)有廣泛的應(yīng)用，是初中要求掌握的三種重要的數(shù)學(xué)方法之一，一定要掌握好。（三種重要的數(shù)學(xué)方法：換元法，配方法，待定系數(shù)法）。

5.一元二次方程知識(shí)點(diǎn)詳細(xì)講解

結(jié)合拋物線(xiàn)圖形及解析式來(lái)理解。幾種形式之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。根與系數(shù)之間的關(guān)系。

1.一般式：y=ax^2+bx+c. a>0則開(kāi)口向上，a<0則開(kāi)口向下

判別式delta=b^2-4ac=a^2(x1-x2)^2

大于0則2相異實(shí)根（曲線(xiàn)與X軸相交），等于0則2等實(shí)根（曲線(xiàn)與X軸相切），小于0則無(wú)實(shí)根（曲線(xiàn)與X軸無(wú)交點(diǎn)）。

2.頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2+d. h=-b/(2a), d=c-ah^2=(4ac-b^2)/(4a)， 由一般式直接配方而來(lái)。

頂點(diǎn)為（h, d）,a>0時(shí)為最小值，a<0時(shí)為最大值

x=h為曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸。若有兩根分別在對(duì)稱(chēng)軸的兩邊

ad<0則有2相異實(shí)根，d=0則2等實(shí)根，ad>0則無(wú)實(shí)根。

3.因式分解式：y=a(x-x1)(x-x2)

x1+x2=-b/a, x1x2=c/a,

兩根同號(hào)則c/a>0， 兩根異號(hào)則c/a<0

兩正根則-b/a>0， 兩負(fù)根則-b/a<0

6.想學(xué)好一元一次方和一元二次方程的話(huà)什么知識(shí)都要懂呢

為一元二次方程的解法。在深刻認(rèn)識(shí)一元二次方程概念基礎(chǔ)上，掌握四種基本解題方法。這部分例、習(xí)題安排類(lèi)型較多，可從中選一些書(shū)后習(xí)題進(jìn)行練習(xí)，并分析和比較出適用于各種不同解法的方程的特點(diǎn)，進(jìn)而歸納出解一元二次方程的一般處理方法：先考慮直接開(kāi)平方法，再考慮因式分解法，最后考慮使用求根公式法。提醒同學(xué)們注意的是：使用求根公式除了可以解一元二次方程外，還可將任何一個(gè)能在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解的二次三項(xiàng)式分解因式。

化為一元二次方程的各類(lèi)方程（組）注意三點(diǎn)：①解方程（組）的基本思想是：多元方程要"消元"，次數(shù)高的方程要"降次"，分式方程"去分母"化為整式方程，無(wú)理方程"去根號(hào)"化為有理方程。②驗(yàn)根。由于"去分母"、"去根號(hào)"都會(huì)使未知數(shù)取值范圍擴(kuò)大，產(chǎn)生增根在所難免，所以在解分式方程及無(wú)理方程時(shí)一定要驗(yàn)根。增根必須舍去。③靈活的解題方法。如換元法、采用根與系數(shù)關(guān)系求解等。

根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系這部分內(nèi)容關(guān)鍵是掌握知識(shí)的來(lái)源、特點(diǎn)：熟練準(zhǔn)確的應(yīng)用則是難點(diǎn)。注意問(wèn)題：①根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，求常見(jiàn)代數(shù)式的值要會(huì)變值。②充分討論隱含條件：如a≠0、Δ≥0等。

方程的應(yīng)用既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。特別是與生活貼近的實(shí)際問(wèn)題，更是各省市中考命題熱點(diǎn)之一。解決的關(guān)鍵是分析出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系

同學(xué)們?cè)陬A(yù)習(xí)過(guò)程中，難免會(huì)遇到一些知識(shí)理解上的困難，不妨做個(gè)標(biāo)記，留待開(kāi)學(xué)后再解決，對(duì)課本內(nèi)容的深層挖掘可暫不涉及。

總之，預(yù)習(xí)要做到：讀懂教材闡述的問(wèn)題；把握問(wèn)題的來(lái)龍去脈；尋求解決問(wèn)題的依據(jù)；探討解決問(wèn)題的辦法；得到問(wèn)題的答案。相信你一定會(huì)嘗到預(yù)習(xí)的甜頭。

7.初中數(shù)學(xué)一元二次方程知識(shí)點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)1：一元二次方程的基本概念 1.一元二次方程3x2+5x-2=0的常數(shù)項(xiàng)是-2. 2.一元二次方程3x2+4x-2=0的一次項(xiàng)系數(shù)為4，常數(shù)項(xiàng)是-2. 3.一元二次方程3x2-5x-7=0的二次項(xiàng)系數(shù)為3，常數(shù)項(xiàng)是-7. 4.把方程3x(x-1)-2=-4x化為一般式為3x2-x-2=0.二、解方程的依據(jù)—等式性質(zhì) 1.a=b←→a+c=b+c 2.a=b←→ac=bc (c≠0) 三、解法 1.一元一次方程的解法：去分母→去括號(hào)→移項(xiàng)→合并同類(lèi)項(xiàng)→ 系數(shù)化成1→解。

2. 元一次方程組的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法 ②加減法 四、一元二次方程 1.定義及一般形式： 2.解法：⑴直接開(kāi)平方法（注意特征） ⑵配方法（注意步驟—推倒求根公式） ⑶公式法： ⑷因式分解法（特征：左邊=0） 3.根的判別式： 4.根與系數(shù)頂?shù)年P(guān)系： 逆定理：若 ，則以 為根的一元二次方程是： 。 5.常用等式： 五、可化為一元二次方程的方程 1.分式方程 ⑴定義 ⑵基本思想： ⑶基本解法：①去分母法②換元法（如， ） ⑷驗(yàn)根及方法 2.無(wú)理方程 ⑴定義 ⑵基本思想： ⑶基本解法：①乘方法（注意技巧?。。趽Q元法（例， ）⑷驗(yàn)根及方法 3.簡(jiǎn)單的二元二次方程組 由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的二元二次方程組都可用代入法解。

六、列方程（組）解應(yīng)用題 一概述 列方程（組）解應(yīng)用題是中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際的一個(gè)重要方面。其具體步驟是： ⑴審題。

理解題意。弄清問(wèn)題中已知量是什么，未知量是什么，問(wèn)題給出和涉及的相等關(guān)系是什么。

⑵設(shè)元（未知數(shù)）。①直接未知數(shù)②間接未知數(shù)（往往二者兼用）。

一般來(lái)說(shuō)，未知數(shù)越多，方程越易列，但越難解。 ⑶用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)的量。

⑷尋找相等關(guān)系（有的由題目給出，有的由該問(wèn)題所涉及的等量關(guān)系給出），列方程。一般地，未知數(shù)個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)是相同的。

⑸解方程及檢驗(yàn)。 ⑹答案。

綜上所述，列方程（組）解應(yīng)用題實(shí)質(zhì)是先把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題（設(shè)元、列方程），在由數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決而導(dǎo)致實(shí)際問(wèn)題的解決（列方程、寫(xiě)出答案）。在這個(gè)過(guò)程中，列方程起著承前啟后的作用。

因此，列方程是解應(yīng)用題的關(guān)鍵。 二常用的相等關(guān)系 1. 行程問(wèn)題（勻速運(yùn)動(dòng)） 基本關(guān)系：s=vt ⑴相遇問(wèn)題（同時(shí)出發(fā)）： + = ； ⑵追及問(wèn)題（同時(shí)出發(fā)）： 若甲出發(fā)t小時(shí)后，乙才出發(fā)，而后在B處追上甲，則 ⑶水中航行： ； 2. 配料問(wèn)題：溶質(zhì)=溶液*濃度 溶液=溶質(zhì)+溶劑 3.增長(zhǎng)率問(wèn)題： 4.工程問(wèn)題：基本關(guān)系：工作量=工作效率*工作時(shí)間（常把工作量看著單位“1”）。

5.幾何問(wèn)題：常用勾股定理，幾何體的面積、體積公式，相似形及有關(guān)比例性質(zhì)等。 三注意語(yǔ)言與解析式的互化 如，“多”、“少”、“增加了”、“增加為（到）”、“同時(shí)”、“擴(kuò)大為（到）”、“擴(kuò)大了”、…… 又如，一個(gè)三位數(shù)，百位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，個(gè)位數(shù)字為c，則這個(gè)三位數(shù)為：100a+10b+c，而不是abc。

四注意從語(yǔ)言敘述中寫(xiě)出相等關(guān)系。 如，x比y大3，則x-y=3或x=y+3或x-3=y。

又如，x與y的差為3，則x-y=3。五注意單位換算 如，“小時(shí)”“分鐘”的換算；s、v、t單位的一致等。

七、應(yīng)用舉例（略） 第六章 一元一次不等式（組） ★重點(diǎn)★一元一次不等式的性質(zhì)、解法 ☆ 內(nèi)容提要☆ 1. 定義：a>b、a2. 一元一次不等式：ax>b、ax3. 一元一次不等式組： 4. 不等式的性質(zhì)：⑴a>b←→a+c>b+c ⑵a>b←→ac>bc(c>0) ⑶a>b←→ac<bc(cb,b>c→a>c ⑸a>b,c>d→a+c>b+d. 5.一元一次不等式的解、解一元一次不等式 6.一元一次不等式組的解、解一元一次不等式組（在數(shù)軸上表示解集） 7.應(yīng)用舉例（略）。