廣義相對論的(廣義相對論基礎(chǔ))
1.廣義相對論基礎(chǔ)
廣義相對論是基于狹義相對論的。
如果后者被證明是錯誤的，整個理論的大廈都將垮塌。質(zhì)量的兩種不同表述 為了理解廣義相對論，我們必須明確質(zhì)量在經(jīng)典力學(xué)中是如何定義的。
首先，讓我們思考一下質(zhì)量在日常生活中代表什么。“它是重量”？事實上，我們認為質(zhì)量是某種可稱量的東西，正如我們是這樣度量它的：我們把需要測出其質(zhì)量的物體放在一架天平上。
我們這樣做是利用了質(zhì)量的什么性質(zhì)呢？是地球和被測物體相互吸引的事實。這種質(zhì)量被稱作“ 小球落到正在加速的地板上和落到地球上引力質(zhì)量”。
我們稱它為“引力的”是因為它決定了宇宙中所有星星和恒星的運行：地球和太陽間的引力質(zhì)量驅(qū)使地球圍繞后者作近乎圓形的環(huán)繞運動。 現(xiàn)在，試著在一個平面上推你的汽車。
你不能否認你的汽車強烈地反抗著你要給它的加速度。這是因為你的汽車有一個非常大的質(zhì)量。
移動輕的物體要比移動重的物體輕松。質(zhì)量也可以用另一種方式定義：“它反抗加速度”。
這種質(zhì)量被稱作“慣性質(zhì)量”。 因此我們得出這個結(jié)論：我們可以用兩種方法度量質(zhì)量。
要么我們稱它的重量（非常簡單），要么我們測量它對加速度的抵抗（使用牛頓定律）。 人們做了許多實驗以測量同一物體的慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量。
所有的實驗結(jié)果都得出同一結(jié)論：慣性質(zhì)量等于引力質(zhì)量。 牛頓自己意識到這種質(zhì)量的等同性是由某種他的理論不能夠解釋的原因引起的。
但他認為這一結(jié)果是一種簡單的巧合。與此相反，愛因斯坦發(fā)現(xiàn)這種等同性中存在著一條取代牛頓理論的通道。
日常經(jīng)驗驗證了這一等同性：兩個物體（一輕一重）會以相同的速度“下落”。然而重的物體受到的地球引力比輕的大。
那么為什么它不會“落”得更快呢？因為它對加速度的抵抗更強。結(jié)論是，引力場中物體的加速度與其質(zhì)量無關(guān)。
伽利略是第一個注意到此現(xiàn)象的人。重要的是你應(yīng)該明白，引力場中所有的物體“以同一加速度下落”是（經(jīng)典力學(xué)中）慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量等同的結(jié)果。
現(xiàn)在我們關(guān)注一下“下落”這個表述。物體“下落”是由于地球的引力質(zhì)量產(chǎn)生了地球的引力場。
兩個物體在所有相同的引力場中的加速度相同。不論是月亮的還是太陽的， 光錐它們以相同的比率被加速。
這就是說它們的速度在每秒鐘內(nèi)的增量相同。（加速度是速度每秒的增加值） 愛因斯坦提出“等效原理”，即引力和慣性力是等效的。
這一原理建立在引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量的等價性上。根據(jù)等效原理，愛因斯坦把狹義相對性原理推廣為廣義相對性原理，即物理定律的形式在一切參考系都是不變的。
物體的運動方程即該參考系中的測地線方程。測地線方程與物體自身固有性質(zhì)無關(guān)，只取決于時空局域幾何性質(zhì)。
而引力正是時空局域幾何性質(zhì)的表現(xiàn)。物質(zhì)質(zhì)量的存在會造成時空的彎曲，在彎曲的時空中，物體仍然順著最短距離進行運動（即沿著測地線運動——在歐氏空間中即是直線運動），如地球在太陽造成的彎曲時空中的測地線運動，實際是繞著太陽轉(zhuǎn)，造成引力作用效應(yīng)。
正如在彎曲的地球表面上，如果以直線運動，實際是繞著地球表面的大圓走。 引力是時空局域幾何性質(zhì)的表現(xiàn)。
雖然廣義相對論是愛因斯坦創(chuàng)立的，但是它的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的源頭可以追溯到歐氏幾何的公理和數(shù)個世紀(jì)以來為證明歐幾里德第五公設(shè)（即平行線永遠保持等距）所做的努力，這方面的努力在羅巴切夫斯基、Bolyai、高斯的工作中到達了頂點：他們指出歐氏第五公設(shè)是不能用前四條公設(shè)證明的。非歐幾何的一般數(shù)學(xué)理論是由高斯的學(xué)生黎曼發(fā)展出來的。
所以也稱為黎曼幾何或曲面幾何，在愛因斯坦發(fā)展出廣義相對論之前，人們都認為非歐幾何是無法應(yīng)用到真實世界 光波從一個大質(zhì)量物體表面出射頻率發(fā)生紅移中來的。 在廣義相對論中，引力的作用被“幾何化”——即是說：狹義相對論的閔氏空間背景加上萬有引力的物理圖景在廣義相對論中變成了黎曼空間背景下不受力（假設(shè)沒有電磁等相互作用）的自由運動的物理圖景，其動力學(xué)方程與自身質(zhì)量無關(guān)而成為測地線方程： 而萬有引力定律也代之以愛因斯坦場方程： R_uv-1/2*R*g_uv=κ*T_uv (Rμν-（1/2）gμνR=8GπTμν/（c*c*c*c） -gμν） 其中 G 為牛頓萬有引力常數(shù) 該方程是一個以時空為自變量、以度規(guī)為因變量的帶有橢圓型約束的二階雙曲型偏微分方程。
它以復(fù)雜而美妙著稱，但并不完美，計算時只能得到近似解。最終人們得到了真正球面對稱的準(zhǔn)確解——史瓦茲解。
加入宇宙學(xué)常數(shù)后的場方程為： R_uv-1/2*R*g_uv+Λ*g_uv=κ*T_uv。
2.廣義相對論的基礎(chǔ)
廣義相對論的基礎(chǔ) 廣義相對論是愛因斯坦繼狹義相對論之后，深入研究引力理論，于1913年提出的引力場的相對論理論。
這一理論完全不同于牛頓的引力論，它把引力場歸結(jié)為物體周圍的時空彎曲，把物體受引力作用而運動，歸結(jié)為物體在彎曲時空中沿短程線的自由運動。因此，廣義相對論亦稱時空幾何動力學(xué)，即把引力歸結(jié)為時空的幾何特性。
如何理解廣義相對論的時空彎曲呢？這里我們借用一個模型式的比擬來加以說明。假如有兩個質(zhì)量很大的鋼球，按牛頓的看法，它們因萬有引力相互吸引，將彼此接近。
而愛因斯坦的廣義相對論則并不認為這兩個鋼球間存在吸引力。它們之所以相互靠近，是由于沒有鋼球出現(xiàn)時，周圍的時空猶如一張拉平的網(wǎng)，現(xiàn)在兩個鋼球把這張時空網(wǎng)壓彎了，于是兩個鋼球就沿著彎曲的網(wǎng)滾到一起來了。
這就相當(dāng)于因時空彎曲物體沿短程線的運動。所以，愛因斯坦的廣義相對論是不存在“引力”的引力理論。
進一步說，這個理論是建立在等效原理及廣義協(xié)變原理這兩個基本假設(shè)之上的。等效原理是從物體的慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量相等這個基本事實出發(fā)，認為引力與加速系中的慣性力等效，兩者原則上是無法區(qū)分的；廣義協(xié)變原理，可以認為是等效原理的一種數(shù)學(xué)表示，即認為反映物理規(guī)律的一切微分方程應(yīng)當(dāng)在所有參考系中保持形式不變，也可以說認為一切參考系是平等的，從而打破了狹義相對論中慣性系的特殊地位，由于參考系選擇的任意性而得名為廣義相對論。
我們知道，牛頓的萬有引力定律認為，一切有質(zhì)量的物體均相互吸引，這是一種靜態(tài)的超距作用。 在廣義相對論中物質(zhì)產(chǎn)生引力場的規(guī)律由愛因斯坦場方程表示，它所反映的引力作用是動態(tài)的，以光速來傳遞的。
廣義相對論是比牛頓引力論更一般的理論，牛頓引力論只是廣義相對論的弱場近似。所謂弱場是指物體在引力場中的引力能遠小于固有能，力場中，才顯示出兩者的差別，這時必須應(yīng)用廣義相對論才能正確處理引力問題。
廣義相對論在1915年建立后，愛因斯坦就提出了可以從三個方面來檢驗其正確性，即所謂三大實驗驗證。這就是光線在太陽附近的偏折，水星近日點的進動以及光譜線在引力場中的頻移，這些不久即為當(dāng)時的實驗觀測所證實。
以后又有人設(shè)計了雷達回波時間延遲實驗，很快在更高精度上證實了廣義相對論。60年代天文學(xué)上的一系列新發(fā)現(xiàn)：3K微波背景輻射、脈沖星、類星體、X射電源等新的天體物理觀測都有力地支持了廣義相對論，從而使人們對廣義相對論的興趣由冷轉(zhuǎn)熱。
特別是應(yīng)用廣義相對論來研究天體物理和宇宙學(xué)，已成為物理學(xué)中的一個熱門前沿。 愛因斯坦一直把廣義相對論看作是自己一生中最重要的科學(xué)成果，他說過，“要是我沒有發(fā)現(xiàn)狹義相對論，也會有別人發(fā)現(xiàn)的，問題已經(jīng)成熟。
但是我認為，廣義相對論不一樣?！贝_實，廣義相對論比狹義相對論包含了更加深刻的思想，這一全新的引力理論至今仍是一個最美好的引力理論。
沒有大膽的革新精神和不屈不撓的毅力，沒有敏銳的理論直覺能力和堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，是不可能建立起廣義相對論的。偉大的科學(xué)家湯姆遜曾經(jīng)把廣義相對論稱作為人類歷史上最偉大的成就之一。
英文： the basis of general relativity Following the general theory of relativity Einstein's special theory of relativity are after-depth study of the gravitational theory, in 1913 proposed the relativistic gravitational field theory. This theory is completely different from Newton's gravitational theory, it comes down to the gravitational field of space-time bending around objects, put objects by the gravitational effects of exercise, reduced to objects in space and time along the curved lines of free short-term exercise. Thus, also known as space-time geometry of general relativity dynamics, that is attributed to the gravitational properties of space-time geometry. How to understand general relativity space-time bending it? Here we use a model of analogy to illustrate. If both have a lot of quality ball, according to Newton's view, they attract each other due to gravity will be near each other. Einstein's general theory of relativity and then do not think that exist between the two ball Attraction. They are close to each other because we do not have the ball appears, the space-time around the Net like a draw, and now put two balls this time and space bending Net, so the ball both on the Net roll bending down up to 1. This is equivalent to a result of bending space-time line of objects along the short-range exercise. Therefore, Einstein's general theory of relativity there is no "gravity" theory of gravity. Furthermore, this theory is built on the equivalence principle and the principle of the generalized covariant basic assumptions on which the two. Objects are from the equivalence principle of inertial mass and gravitational mass equal to the basic facts that the Department of gravity and speed up the equivalent of the inertial force, which in princ。
3.廣義相對論的理論基礎(chǔ)是什么
廣義相對論的基礎(chǔ) 廣義相對論是愛因斯坦繼狹義相對論之后，深入研究引力理論，于1913年提出的引力場的相對論理論。
這一理論完全不同于牛頓的引力論，它把引力場歸結(jié)為物體周圍的時空彎曲，把物體受引力作用而運動，歸結(jié)為物體在彎曲時空中沿短程線的自由運動。因此，廣義相對論亦稱時空幾何動力學(xué)，即把引力歸結(jié)為時空的幾何特性。
如何理解廣義相對論的時空彎曲呢？這里我們借用一個模型式的比擬來加以說明。假如有兩個質(zhì)量很大的鋼球，按牛頓的看法，它們因萬有引力相互吸引，將彼此接近。
而愛因斯坦的廣義相對論則并不認為這兩個鋼球間存在吸引力。它們之所以相互靠近，是由于沒有鋼球出現(xiàn)時，周圍的時空猶如一張拉平的網(wǎng)，現(xiàn)在兩個鋼球把這張時空網(wǎng)壓彎了，于是兩個鋼球就沿著彎曲的網(wǎng)滾到一起來了。
這就相當(dāng)于因時空彎曲物體沿短程線的運動。所以，愛因斯坦的廣義相對論是不存在“引力”的引力理論。
進一步說，這個理論是建立在等效原理及廣義協(xié)變原理這兩個基本假設(shè)之上的。等效原理是從物體的慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量相等這個基本事實出發(fā)，認為引力與加速系中的慣性力等效，兩者原則上是無法區(qū)分的；廣義協(xié)變原理，可以認為是等效原理的一種數(shù)學(xué)表示，即認為反映物理規(guī)律的一切微分方程應(yīng)當(dāng)在所有參考系中保持形式不變，也可以說認為一切參考系是平等的，從而打破了狹義相對論中慣性系的特殊地位，由于參考系選擇的任意性而得名為廣義相對論。
我們知道，牛頓的萬有引力定律認為，一切有質(zhì)量的物體均相互吸引，這是一種靜態(tài)的超距作用。 在廣義相對論中物質(zhì)產(chǎn)生引力場的規(guī)律由愛因斯坦場方程表示，它所反映的引力作用是動態(tài)的，以光速來傳遞的。
廣義相對論是比牛頓引力論更一般的理論，牛頓引力論只是廣義相對論的弱場近似。所謂弱場是指物體在引力場中的引力能遠小于固有能，力場中，才顯示出兩者的差別，這時必須應(yīng)用廣義相對論才能正確處理引力問題。
廣義相對論在1915年建立后，愛因斯坦就提出了可以從三個方面來檢驗其正確性，即所謂三大實驗驗證。這就是光線在太陽附近的偏折，水星近日點的進動以及光譜線在引力場中的頻移，這些不久即為當(dāng)時的實驗觀測所證實。
以后又有人設(shè)計了雷達回波時間延遲實驗，很快在更高精度上證實了廣義相對論。60年代天文學(xué)上的一系列新發(fā)現(xiàn)：3K微波背景輻射、脈沖星、類星體、X射電源等新的天體物理觀測都有力地支持了廣義相對論，從而使人們對廣義相對論的興趣由冷轉(zhuǎn)熱。
特別是應(yīng)用廣義相對論來研究天體物理和宇宙學(xué)，已成為物理學(xué)中的一個熱門前沿。 愛因斯坦一直把廣義相對論看作是自己一生中最重要的科學(xué)成果，他說過，“要是我沒有發(fā)現(xiàn)狹義相對論，也會有別人發(fā)現(xiàn)的，問題已經(jīng)成熟。
但是我認為，廣義相對論不一樣。”確實，廣義相對論比狹義相對論包含了更加深刻的思想，這一全新的引力理論至今仍是一個最美好的引力理論。
沒有大膽的革新精神和不屈不撓的毅力，沒有敏銳的理論直覺能力和堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，是不可能建立起廣義相對論的。偉大的科學(xué)家湯姆遜曾經(jīng)把廣義相對論稱作為人類歷史上最偉大的成就之一。
4.廣義相對論基礎(chǔ)
廣義相對論是基于狹義相對論的。如果后者被證明是錯誤的，整個理論的大廈都將垮塌。
質(zhì)量的兩種不同表述
為了理解廣義相對論，我們必須明確質(zhì)量在經(jīng)典力學(xué)中是如何定義的。
首先，讓我們思考一下質(zhì)量在日常生活中代表什么?！八侵亓俊保渴聦嵣?，我們認為質(zhì)量是某種可稱量的東西，正如我們是這樣度量它的：我們把需要測出其質(zhì)量的物體放在一架天平上。我們這樣做是利用了質(zhì)量的什么性質(zhì)呢？是地球和被測物體相互吸引的事實。這種質(zhì)量被稱作“ 小球落到正在加速的地板上和落到地球上引力質(zhì)量”。我們稱它為“引力的”是因為它決定了宇宙中所有星星和恒星的運行：地球和太陽間的引力質(zhì)量驅(qū)使地球圍繞后者作近乎圓形的環(huán)繞運動。
現(xiàn)在，試著在一個平面上推你的汽車。你不能否認你的汽車強烈地反抗著你要給它的加速度。這是因為你的汽車有一個非常大的質(zhì)量。移動輕的物體要比移動重的物體輕松。質(zhì)量也可以用另一種方式定義：“它反抗加速度”。這種質(zhì)量被稱作“慣性質(zhì)量”。
因此我們得出這個結(jié)論：我們可以用兩種方法度量質(zhì)量。要么我們稱它的重量（非常簡單），要么我們測量它對加速度的抵抗（使用牛頓定律）。
人們做了許多實驗以測量同一物體的慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量。所有的實驗結(jié)果都得出同一結(jié)論：慣性質(zhì)量等于引力質(zhì)量。
牛頓自己意識到這種質(zhì)量的等同性是由某種他的理論不能夠解釋的原因引起的。但他認為這一結(jié)果是一種簡單的巧合。與此相反，愛因斯坦發(fā)現(xiàn)這種等同性中存在著一條取代牛頓理論的通道。
日常經(jīng)驗驗證了這一等同性：兩個物體（一輕一重）會以相同的速度“下落”。然而重的物體受到的地球引力比輕的大。那么為什么它不會“落”得更快呢？因為它對加速度的抵抗更強。結(jié)論是，引力場中物體的加速度與其質(zhì)量無關(guān)。伽利略是第一個注意到此現(xiàn)象的人。重要的是你應(yīng)該明白，引力場中所有的物體“以同一加速度下落”是（經(jīng)典力學(xué)中）慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量等同的結(jié)果。
現(xiàn)在我們關(guān)注一下“下落”這個表述。物體“下落”是由于地球的引力質(zhì)量產(chǎn)生了地球的引力場。兩個物體在所有相同的引力場中的加速度相同。不論是月亮的還是太陽的， 光錐它們以相同的比率被加速。這就是說它們的速度在每秒鐘內(nèi)的增量相同。（加速度是速度每秒的增加值）
愛因斯坦提出“等效原理”，即引力和慣性力是等效的。這一原理建立在引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量的等價性上。根據(jù)等效原理，愛因斯坦把狹義相對性原理推廣為廣義相對性原理，即物理定律的形式在一切參考系都是不變的。物體的運動方程即該參考系中的測地線方程。測地線方程與物體自身固有性質(zhì)無關(guān)，只取決于時空局域幾何性質(zhì)。而引力正是時空局域幾何性質(zhì)的表現(xiàn)。物質(zhì)質(zhì)量的存在會造成時空的彎曲，在彎曲的時空中，物體仍然順著最短距離進行運動（即沿著測地線運動——在歐氏空間中即是直線運動），如地球在太陽造成的彎曲時空中的測地線運動，實際是繞著太陽轉(zhuǎn)，造成引力作用效應(yīng)。正如在彎曲的地球表面上，如果以直線運動，實際是繞著地球表面的大圓走。
引力是時空局域幾何性質(zhì)的表現(xiàn)。雖然廣義相對論是愛因斯坦創(chuàng)立的，但是它的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的源頭可以追溯到歐氏幾何的公理和數(shù)個世紀(jì)以來為證明歐幾里德第五公設(shè)（即平行線永遠保持等距）所做的努力，這方面的努力在羅巴切夫斯基、Bolyai、高斯的工作中到達了頂點：他們指出歐氏第五公設(shè)是不能用前四條公設(shè)證明的。非歐幾何的一般數(shù)學(xué)理論是由高斯的學(xué)生黎曼發(fā)展出來的。所以也稱為黎曼幾何或曲面幾何，在愛因斯坦發(fā)展出廣義相對論之前，人們都認為非歐幾何是無法應(yīng)用到真實世界 光波從一個大質(zhì)量物體表面出射頻率發(fā)生紅移中來的。
在廣義相對論中，引力的作用被“幾何化”——即是說：狹義相對論的閔氏空間背景加上萬有引力的物理圖景在廣義相對論中變成了黎曼空間背景下不受力（假設(shè)沒有電磁等相互作用）的自由運動的物理圖景，其動力學(xué)方程與自身質(zhì)量無關(guān)而成為測地線方程：
而萬有引力定律也代之以愛因斯坦場方程：
R_uv-1/2*R*g_uv=κ*T_uv
(Rμν-（1/2）gμνR=8GπTμν/（c*c*c*c） -gμν）
其中 G 為牛頓萬有引力常數(shù)
該方程是一個以時空為自變量、以度規(guī)為因變量的帶有橢圓型約束的二階雙曲型偏微分方程。它以復(fù)雜而美妙著稱，但并不完美，計算時只能得到近似解。最終人們得到了真正球面對稱的準(zhǔn)確解——史瓦茲解。
加入宇宙學(xué)常數(shù)后的場方程為：
R_uv-1/2*R*g_uv+Λ*g_uv=κ*T_uv
5.《廣義相對論》的主要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是什么
數(shù)學(xué)是一種工具，一種工具不一定適用于一切問題的解決。很多自然運用自如不是用數(shù)學(xué)可以解決和表達的，比如，沒有人能用數(shù)學(xué)證明人會走路，也不能用數(shù)學(xué)來證明和推導(dǎo)出狗有四條腿。
物理學(xué)的發(fā)展有很多理論是先發(fā)現(xiàn)規(guī)律，后總結(jié)和近似為某種數(shù)學(xué)關(guān)系的，所以數(shù)學(xué)不是因，而是果?？陀^規(guī)律是因，理論是果。有了客觀規(guī)律后再設(shè)法通過大量實驗和測量總結(jié)歸納出數(shù)學(xué)規(guī)律。
因此，可以說相對論的基礎(chǔ)只是經(jīng)典物理學(xué)，當(dāng)然包括經(jīng)典物理學(xué)中總結(jié)歸納出來的數(shù)學(xué)規(guī)律。很多相對論的結(jié)論都是先有實驗發(fā)現(xiàn)，物理意義上的揄和猜測，然后做出預(yù)言，再通過實驗驗證，或用數(shù)學(xué)方法證明，有的可以證明，有的不能證明。
不能用數(shù)學(xué)方法證明的不代表就是錯的，因為數(shù)學(xué)不是萬能的，反過來說，數(shù)學(xué)《也不能證明那些規(guī)律是錯的。比如狗是四條腿，數(shù)學(xué)無法證明狗應(yīng)該是四條腿，但同時也不能證明狗不應(yīng)該是四條腿。
其他問題都與經(jīng)典物理學(xué)沒太大的區(qū)別，最重要的一條光速不變原理，是實驗證明的，就像我們抽查了一萬現(xiàn)都是四有一樣，測試了那么多次都是相同的結(jié)果，因而就斷定狗應(yīng)該是四條腿，也用同樣的方法證明光速確實不變。
其他的物理理論都是經(jīng)典物理學(xué)中已經(jīng)有了的東西，包括適用于經(jīng)典物理學(xué)的全部數(shù)學(xué)理論，只是把光速不變的原理套上就行了。
說到底，相對論其實就是把經(jīng)典物理學(xué)從以太為參照物的絕對運動基礎(chǔ)上搬移到?jīng)]有以太，只能以物體做參照物的相對運動的基礎(chǔ)上。就是一種理論把基礎(chǔ)換一下的問題。換這個的原因都明白，因為人們找不到以太，就算有以太，人們無法利用也和沒有一樣。
在經(jīng)典物理學(xué)中，并不否認相對運動，因此把絕對運動的理論搬移到相對性基礎(chǔ)上也應(yīng)該不是什么問題，至少伽利略不會反對。
當(dāng)然，具休如何搬移那就是具體的工作了，道理很簡單，只是做起來的工作就多了，因為物理學(xué)是一個龐大的科學(xué)體系。
空間的概念是物理概念，但空間的維度是數(shù)學(xué)概念。要說基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)這也是相對論用到的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)這之一。
我忘了三視圖是在物理中學(xué)的還是在數(shù)學(xué)中學(xué)的了，但是把一個三維立體的物體投影到三個二維平面上得到三個視圖，可以表達一個三維立體的物體。
我們身在四維空間中（物理概念是時空），所以可以用六個平面坐標(biāo)來表達（因為同維度空間不能表達同維度的空間），把一個（X,Y,Z,T）四維空間表達成六個二維空間的投影（X,Y）、（Y,Z）、（X,Z）、（X,T）、（Y,T）、（Z,T）。我們看到四個坐標(biāo)中有三個是速度（長度與時間的關(guān)系）坐標(biāo)?？磥頃r空還需要數(shù)學(xué)中的解析幾何來表達。
現(xiàn)在再看一下，假如四個坐標(biāo)軸都是均勻等刻度的，那么這個四維空間肯定是均勻的，速度是均勻的表示是慣性系。假如四個坐標(biāo)中有任何一個坐標(biāo)軸是不均勻的，那么這個坐標(biāo)系就是非線性的，因為里面的正比函數(shù)表現(xiàn)出來的了一條曲線。曲線是數(shù)學(xué)概念，在物理中叫做彎曲。就是說只要有一條坐標(biāo)軸是非均勻的，那么就表示空間是彎曲的。
我們看到在四維空間中，任何一個坐標(biāo)軸不均勻，就是非勻速空間，叫做非慣性系。
從上面看，相對論中的每一個理論都有相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達，所以，在表述相對論的總理時，常常是物理概念和數(shù)學(xué)概念交替使用。
在物理學(xué)中，非慣性系表示速度不是均勻的系統(tǒng)，在物理學(xué)中還有一個誰都倒背如流的公式F=ma，這個公式用數(shù)學(xué)中的等式變換很容易就得到了a=F/m，注意等式變換是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。
左邊是加速度，右邊是引力強度（單位質(zhì)量所受的引力），有加速度的空間叫做非慣性系，那么公式又表明加速度就是引力場強度的值（也可以說明用數(shù)學(xué)方法證明了加速度就是引力場強度），所以引力場就是空間彎曲的表象。
可以說數(shù)學(xué)基礎(chǔ)無處不在，不能簡單的說數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是什么，因為從簡單蝗等式變換到微積分，都是相對論的基礎(chǔ)之一。盡管還有很多東西不能用數(shù)學(xué)表達和證明，但是物理學(xué)與數(shù)學(xué)的連帶關(guān)系是不言而喻的。事實上，數(shù)學(xué)的發(fā)展也是與物理學(xué)的發(fā)展密不可分的。從實數(shù)到虛數(shù)就是一個非常好的證明。在數(shù)學(xué)中，負數(shù)不能開平方，但是物理學(xué)中，必須對負數(shù)開平方，所以數(shù)學(xué)就發(fā)展出了虛數(shù)的概念及運算規(guī)則。可以說是先有了需要后有數(shù)學(xué)規(guī)則。
6.廣義相對論的基礎(chǔ)教案
廣義相對性原理和等效原理狹義相對論認為，在不同的慣性參考系中一切物理規(guī)律都是相同的.愛因斯坦在此基礎(chǔ)上又向前邁進了一大步，認為在任何參考系中（包括非慣性系）物理規(guī)律都是相同的，這就是廣義相對性原理.下面介紹廣義相對論的另一個基本原理-等效原理.等效原理假設(shè)宇宙飛船是全封閉的，宇航員和外界沒有任何聯(lián)系，那么他就沒有任何辦法來判斷，使物體以某一加速度下落的力到底是引力還是慣性力.實際上，不僅是自由落體的實驗，飛船內(nèi)部的任何物理過程都不能告訴我們，飛船到底是在加速運動，還是停泊在一個行星的表面.這里談到的情景和本章第一節(jié)所述伽利略大船中的情景十分相似.這個事實使我們想到：一個均勻的引力場與一個做勻加速運動的參考系等價.愛因斯坦把它作為廣義相對論的第二個基本原理，這就是著名的等效原理.從這兩個基本原理出發(fā)可以直接得出一些意想不到的結(jié)論.假設(shè)在引力可以忽略的宇宙空間有一艘宇宙飛船在做勻加速直線運動，一束光垂直于運動方向射入這艘飛船.船外靜止的觀察者當(dāng)然會看到這束光是沿直線傳播的，但是飛船中的觀察者以飛船為參考系看到的卻是另外一番情景.為了記錄光束在飛船中的徑跡，他在船中等距離地放置一些半透明的屏（如圖），光可以透過這些屏，同時在屏上留下光點.由于飛船在前進，光到達下一屏的位置總會比到達上一展的位置更加靠近船尾.如果飛船做勻速直線運動，光在任何相鄰兩屏之間飛行時，飛船前進的距離都相等，飛船上的觀察者看到光的徑跡仍是一條直線（如圖中的虛線），盡管直線的方向與船外靜止觀察者看到的直線方向不一樣.如果飛船做勻加速直線運動，在光向右傳播的同時，飛船的速度也在不斷增大，因此船上觀察者記錄下的光的徑跡是一條拋物線（如圖中的實線）.根據(jù)等效原理，飛船中的觀察者也完全可以認為飛船沒有加速運動，而是在船尾方向存在一塊巨大的物體，它的引力場影響了飛船內(nèi)的物理過程.因此我們得出結(jié)論：物體的引力能使光線彎曲.通常物體的引力場都太弱，20世紀(jì)初只能觀測到太陽引力場引起的光線彎曲.由于太陽引力場的作用，我們有可能看到太陽后面的恒星（如圖）.但是，平時的明亮天空使我們無法觀星，所以最好的時機是發(fā)生日全食的時候.1919年5月29日恰好有一次日全食，兩支英國考察隊分赴幾內(nèi)亞灣和巴西進行觀測，其結(jié)果完全證實了愛因斯坦的預(yù)言.這是廣義相對論的最早的驗證.時間間隔與引力場有關(guān) 引力場的存在使得空間不同位置的時間進程出現(xiàn)差別.我們考察一個轉(zhuǎn)動的巨大圓盤（如圖）.從地面上看，圓盤上除轉(zhuǎn)動軸的位置外，各點都在做加速運動，越是靠近邊緣，加速度越大，方向指向盤心.從地面上還會看到，越是靠近邊緣的點，速度越大.根據(jù)狹義相對論，同一個過程，越是發(fā)生在靠近邊緣的位置，這個過程所持續(xù)的時間就越長.或者說，靠近邊緣位置的時間進程比較緩慢.再以圓盤本身為參考系研究這個現(xiàn)象.圓盤上的人認為，盤上存在著一個引力場，方向由盤心指向邊緣.既然靠近邊緣位置的時間進程比較緩慢，盤上的人就可以得出結(jié)論：在引力勢較低的位置，時間進程比較慢.宇宙中有一類恒星，體積很小，質(zhì)量卻不小，叫做矮星.矮星表面的引力很強，引力勢比地球表面低得多.矮星表面的時間進程比較慢，那里的原子發(fā)光的頻率比同種原子在地球上發(fā)光的頻率低，看起來偏紅.這個現(xiàn)象叫做引力紅移，已經(jīng)在天文觀測中得到證實.現(xiàn)代技術(shù)也能夠在地球上驗證引力紅移.桿的長度與引力場有關(guān) 仍然考察轉(zhuǎn)動的圓盤.同樣的桿，放在盤上的不同位置，它們隨盤運動的速度就不一樣，根據(jù)狹義相對論，它們的長度也就不一樣，越是靠近邊緣，桿就越短.盤上的人也觀察到了這種差別，不過他以圓盤為參考系，認為盤是靜止的，同時他還認為盤上各點存在著指向圓盤邊緣的引力，因此他得出結(jié)論：引力勢越低的位置，桿的長度越短.桿的長度和引力場的分布有關(guān)，這個現(xiàn)象反映出這樣的事實，即由于物質(zhì)的存在，實際空間并不是均勻的，這和我們過去的觀念有很大的差別.打個比方，一塊布上面的格子是整齊的（如圖甲），如果用手向下壓，格子就彎曲了（如圖乙）.物理學(xué)借用了“彎曲”這個詞，通常說，由于物質(zhì)的存在，實際的空間是彎曲的.行星沿橢圓軌道繞太陽運動，有時離太陽近些，有時遠些.太陽的巨大質(zhì)量使它周圍的空間發(fā)生彎曲，其結(jié)果是，行星每公轉(zhuǎn)一周它的軌道的長軸都比上一個周期偏轉(zhuǎn)一個角度，這個現(xiàn)象叫做行星軌道的進動.理論分析表明只有水星軌道的進動比較顯著，達到約每世紀(jì)0.01°.這個現(xiàn)象早在廣義相對論出現(xiàn)之前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，只是無法解釋，所以它實際是廣義相對論的最早的佐證.廣義相對論與幾何學(xué)最后，我們再次回到轉(zhuǎn)動的圓盤.狹義相對論告訴我們，只有沿著運動方向的長度發(fā)生變化，垂直于運動方向的長度不會變化；如果以圓盤為參考系，就可以說，沿著引力方向的空間尺度沒有變化，只有垂直于引力方向的空間尺度發(fā)生了改變.這一點具有非常深刻的意義，因為這時測量圓盤的周長和直徑，它們的比值就不再是3.141 59…，而是別的值，三角形的內(nèi)角和也不會是180°了……簡而言之，由。
