圓的和經(jīng)典題型(圓的所有經(jīng)典題型大家?guī)蛶兔?

1.圓的所有經(jīng)典題型大家?guī)蛶兔?/h2>

如圖：⊙O的弦AC、BD交于點(diǎn)S，過點(diǎn)A、B分別作⊙O的切線得交點(diǎn)P，延長AD、BC得交點(diǎn)Q，求證：P、S、Q三點(diǎn)共線 如圖：已經(jīng)AB是圓O的直徑，CD是圓的弦且垂直于AB，交AB于點(diǎn)E,QP是過E點(diǎn)的弦，連接BQ、BP，交CD于點(diǎn)H，點(diǎn)G。

證明：三角形GPE和三角形QHE相似問題補(bǔ)充 2009-12-15 18:18L是圓O上的任意一點(diǎn)，以D為圓心，以DL為半徑畫圓，交圓O于點(diǎn)M，連接BD、CL、CM,BD于CL、CM相交于點(diǎn)R和點(diǎn)S。證明：三角形BRC和三角形BSC相似 其實(shí)有很多很多，具體你看我的問問回答吧。

2.圓的所有經(jīng)典題型

如圖：

⊙O的弦AC、BD交于點(diǎn)S，過點(diǎn)A、B分別作⊙O的切線得交點(diǎn)P，延長AD、BC得交點(diǎn)Q，求證：P、S、Q三點(diǎn)共線

如圖：已經(jīng)AB是圓O的直徑，CD是圓的弦且垂直于AB，交AB于點(diǎn)E,QP是過E點(diǎn)的弦，連接BQ、BP，交CD于點(diǎn)H，點(diǎn)G。

證明：三角形GPE和三角形QHE相似

問題補(bǔ)充 2009-12-15 18:18

L是圓O上的任意一點(diǎn)，以D為圓心，以DL為半徑畫圓，交圓O于點(diǎn)M，連接BD、CL、CM,BD于CL、CM相交于點(diǎn)R和點(diǎn)S。

證明：三角形BRC和三角形BSC相似

其實(shí)有很多很多，具體你看我的問問回答吧

3.高中數(shù)學(xué)圓的基本知識(shí)與分類練習(xí)

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高一數(shù)學(xué)期中復(fù)習(xí)之一——圓

一.基本知識(shí)之關(guān)于圓的方程

1.圓心為，半徑為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.特殊地，

當(dāng)時(shí)，圓心在原點(diǎn)的圓的方程為：.

2.圓的一般方程，其中.

圓心為點(diǎn)，半徑，

3.二元二次方程，表示圓的方程的充要條件是：

①項(xiàng)項(xiàng)的系數(shù)相同且不為，即；②沒有項(xiàng)，即；③.

4.圓：的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

特殊地，的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

5.圓系方程：過圓：與圓：交點(diǎn)的圓系方程是（不含圓），

當(dāng)時(shí)圓系方程變?yōu)閮蓤A公共弦所在直線方程.

二.基本知識(shí)之關(guān)于直線與圓的位置關(guān)系

位置關(guān)系|相切|相交|相離|

幾何特征|代數(shù)特征|

將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設(shè)它的判別式為，圓的半徑為，圓心到直線的距離為，則直線與圓的位置關(guān)系滿足以下關(guān)系：

直線截圓所得弦長的計(jì)算方法：

①利用弦長計(jì)算公式：設(shè)直線與圓相交于，兩點(diǎn)，

則弦；

②利用垂徑定理和勾股定理：（其中為圓的半徑，直線到圓心的距離）.

3.圓與圓的位置關(guān)系：設(shè)兩圓的半徑分別為和，圓心距為，則兩圓的位置關(guān)系滿足以下關(guān)系：

位置關(guān)系|外離|外切|相交|內(nèi)切|內(nèi)含|

幾何特征|代數(shù)特征|無實(shí)數(shù)解|一組實(shí)數(shù)解|兩組實(shí)數(shù)解|一組實(shí)數(shù)解|無實(shí)數(shù)解|

三.分類例題練習(xí)解：（

4.關(guān)于圓的知識(shí)

圓的有關(guān)性質(zhì)

一，〖知識(shí)點(diǎn)〗圓、圓的對稱性、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系、不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓、三角形的外接圓、垂徑定理逆定理、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

〖大綱要求〗

1. 正確理解和應(yīng)用圓的點(diǎn)集定義，掌握點(diǎn)和圓的位置關(guān)系；

2. 熟練地掌握確定一個(gè)圓的條件，即圓心、半徑；直徑；不在同一直線上三點(diǎn)。一個(gè)

圓的圓心只確定圓的位置，而半徑也只能確定圓的大小，兩個(gè)條件確定一條直線，三個(gè)條件確定一個(gè)圓，過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓存在并且唯一；

3. 熟練地掌握和靈活應(yīng)用圓的有關(guān)性質(zhì)：同（等）圓中半徑相等、直徑相等直徑是半

徑的2倍；直徑是最大的弦；圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一條直線都是對稱軸；圓是中心對稱圖形，圓心是對稱中心；圓具有旋轉(zhuǎn)不變性；垂徑定理及其推論；圓心角、圓周角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系；

4. 掌握和圓有關(guān)的角：圓心角、圓周角的定義及其度量；圓心角等于同（等）弧上的

圓周角的2倍；同（等）弧上的圓周角相等；直徑（半圓）上的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑；

5. 掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理：它溝通了圓內(nèi)外圖形的關(guān)系，并能應(yīng)用它解決有關(guān)

問題；

6. 注意：（1）垂徑定理及其推論是指：一條弦①在“過圓心”②“垂直于另一條弦”

③“平分這另一條弦”④“平分這另一條弦所對的劣弧”⑤“ 平分這另一條弦所對的優(yōu)弧”的五個(gè)條件中任意具有兩個(gè)條件，則必具有另外三個(gè)結(jié)論（當(dāng)①③為條件時(shí)要對另一條弦增加它不是直徑的限制），條理性的記憶，不但簡化了對它實(shí)際代表的10條定理的記憶且便于解題時(shí)的靈活應(yīng)用，垂徑定理提供了證明線段相等、角相等、垂直關(guān)系等的重要依據(jù)；（2）有弦可作弦心距組成垂徑定理圖形；見到直徑要想到它所對的圓周角是直角，想垂徑定理；想到過它的端點(diǎn)若有切線，則與它垂直，反之，若有垂線則是切線，想到它被圓心所平分；（3）見到四個(gè)點(diǎn)在圓上想到有4組相等的同弧所對的圓周角，要想到應(yīng)用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)。

〖考查重點(diǎn)與常見題型〗

1. 判斷基本概念、基本定理等的正誤，在中考題中常以選擇題、填空題的形式考查學(xué)

生對基本概念和基本定理的正確理解，如：下列語句中，正確的有（ ）

(A)相等的圓心角所對的弧相等 （B）平分弦的直徑垂直于弦

(C)長度相等的兩條弧是等弧 （D）弦過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸

2. 論證線段相等、三角形相似、角相等、弧相等及線段的倍分等。此種結(jié)論的證明重

點(diǎn)考查了全等三角形和相似三角形判定，垂徑定理及其推論、圓周角、圓心角的性質(zhì)及切線的性質(zhì)，弦切角等有關(guān)圓的基礎(chǔ)知識(shí)，常以解答題形式出現(xiàn)。

二，〖知識(shí)點(diǎn)〗

相交弦定理、切割線定理及其推論

〖大綱要求〗

1. 正誤相交弦定理、切割線定理及其推論；

2. 了解圓冪定理的內(nèi)在聯(lián)系；

3. 熟練地應(yīng)用定理解決有關(guān)問題；

4. 注意（1）相交弦定理、切割線定理及其推論統(tǒng)稱為圓冪定理，圓冪定理是圓和相似

三角形結(jié)合的產(chǎn)物。這幾個(gè)定理可統(tǒng)一記憶成一個(gè)定理：過圓內(nèi)或圓外一點(diǎn)作圓的兩條割線，則這兩條割線被圓截出的兩弦被定點(diǎn)分（內(nèi)分或外分）成兩線段長的積相等（至于切線可看作是兩條交點(diǎn)重合的割線）。使用時(shí)注意每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)一個(gè)是公共點(diǎn)，另一個(gè)是與圓的交點(diǎn)；

(2)見圓中有兩條相交想到相交弦定理；見到切線與一條割線相交則想到切割線定理；若有兩條切線相交則想到切線長定理，并熟悉此時(shí)圖形中存在著一個(gè)以交點(diǎn)和圓心連線為對稱軸的對稱圖形。

〖考查重點(diǎn)與常見題型〗

證明等積式、等比式及混合等式等。此種結(jié)論的證明重點(diǎn)考查了相似三角形，切割線定

理及其推論，相交弦定理及圓的一些知識(shí)。常見題型以中檔解答題為主，也有一些出現(xiàn)在選擇題或填空題中。

5.圓的知識(shí)點(diǎn)

一、圓及圓的相關(guān)量的定義（28個(gè)） 1.平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。

定點(diǎn)稱為圓心，定長稱為半徑。 2.圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。

大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧。連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。

經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。 3.頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角。

頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角。 4.過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心。

和三角形三邊都相切的圓叫做這個(gè)三角形的內(nèi)切圓，其圓心稱為內(nèi)心。 5.直線與圓有3種位置關(guān)系：無公共點(diǎn)為相離；有2個(gè)公共點(diǎn)為相交；圓與直線有唯一公共點(diǎn)為相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。

6.兩圓之間有5種位置關(guān)系：無公共點(diǎn)的，一圓在另一圓之外叫外離，在之內(nèi)叫內(nèi)含；有唯一公共點(diǎn)的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內(nèi)叫內(nèi)切；有2個(gè)公共點(diǎn)的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。

7.在圓上，由2條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。圓錐側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。

這個(gè)扇形的半徑成為圓錐的母線。 二、有關(guān)圓的字母表示方法（7個(gè)） 圓--⊙ 半徑—r 弧--⌒ 直徑—d 扇形弧長/圓錐母線—l 周長—C 面積—S 三、有關(guān)圓的基本性質(zhì)與定理（27個(gè)） 1.點(diǎn)P與圓O的位置關(guān)系（設(shè)P是一點(diǎn)，則PO是點(diǎn)到圓心的距離）： P在⊙O外，PO>r;P在⊙O上，PO=r;P在⊙O內(nèi)，PO 2.圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線。

圓也是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心。 3.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。

逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧。 4.在同圓或等圓中，如果2個(gè)圓心角，2個(gè)圓周角，2條弧，2條弦中有一組量相等，那么他們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。

5.一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。 6.直徑所對的圓周角是直角。

90度的圓周角所對的弦是直徑。 7.不在同一直線上的3個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。

8.一個(gè)三角形有唯一確定的外接圓和內(nèi)切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點(diǎn)，到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離相等；內(nèi)切圓的圓心是三角形各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，到三角形3邊距離相等。

9.直線AB與圓O的位置關(guān)系（設(shè)OP⊥AB于P，則PO是AB到圓心的距離）： AB與⊙O相離，PO>r;AB與⊙O相切，PO=r;AB與⊙O相交，PO 10.圓的切線垂直于過切點(diǎn)的直徑；經(jīng)過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線，是這個(gè)圓的切線。 11.圓與圓的位置關(guān)系（設(shè)兩圓的半徑分別為R和r，且R≥r，圓心距為P）： 外離P>R+r；外切P=R+r；相交R-r 四、有關(guān)圓的計(jì)算公式 1.圓的周長C=2πr=πd 2.圓的面積S=πr2 3.扇形弧長l=nπr/180 4.扇形面積S=nπr2/360=rl/2 5.圓錐側(cè)面積S=πrl 五 圓的方程 1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)O(a,b)為圓心，以r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 （x-a）^2+(y-b)^2=r^2 2.圓的一般方程 把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)后，可得圓的一般方程是 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 和標(biāo)準(zhǔn)方程對比，其實(shí)D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2 相關(guān)知識(shí)：圓的離心率e=0.在圓上任意一點(diǎn)的曲率半徑都是r. 六 圓與直線的位置關(guān)系判斷 平面內(nèi)，直線Ax+By+C=O與圓x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置關(guān)系判斷一般方法是 討論如下2種情況： （1）由Ax+By+C=O可得y=(-C-Ax)/B，[其中B不等于0]， 代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成為一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程f(x)=0. 利用判別式b^2-4ac的符號(hào)可確定圓與直線的位置關(guān)系如下： 如果b^2-4ac>0，則圓與直線有2交點(diǎn)，即圓與直線相交 如果b^2-4ac=0，則圓與直線有1交點(diǎn)，即圓與直線相切 如果b^2-4ac<0，則圓與直線有0交點(diǎn)，即圓與直線相離 （2）如果B=0即直線為Ax+C=0，即x=-C/A.它平行于y軸（或垂直于x軸） 將x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化為（x-a）^2+(y-b)^2=r^2 令y=b，求出此時(shí)的兩個(gè)x值x1,x2，并且我們規(guī)定x1<x2 當(dāng)x=-C/Ax2時(shí)，直線與圓相離 當(dāng)x1<x=-C/A<x2時(shí)，直線與圓相交 當(dāng)x=-C/A=x1或x=-C/A=x2時(shí)，直線與圓相切。

6.圓的知識(shí)點(diǎn)有哪些

一，〖知識(shí)點(diǎn)〗圓、圓的對稱性、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系、不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓、三角形的外接圓、垂徑定理逆定理、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) 〖大綱要求〗 1. 正確理解和應(yīng)用圓的點(diǎn)集定義，掌握點(diǎn)和圓的位置關(guān)系； 2. 熟練地掌握確定一個(gè)圓的條件，即圓心、半徑；直徑；不在同一直線上三點(diǎn)。

一個(gè) 圓的圓心只確定圓的位置，而半徑也只能確定圓的大小，兩個(gè)條件確定一條直線，三個(gè)條件確定一個(gè)圓，過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓存在并且唯一； 3. 熟練地掌握和靈活應(yīng)用圓的有關(guān)性質(zhì)：同（等）圓中半徑相等、直徑相等直徑是半 徑的2倍；直徑是最大的弦；圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一條直線都是對稱軸；圓是中心對稱圖形，圓心是對稱中心；圓具有旋轉(zhuǎn)不變性；垂徑定理及其推論；圓心角、圓周角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系； 4. 掌握和圓有關(guān)的角：圓心角、圓周角的定義及其度量；圓心角等于同（等）弧上的 圓周角的2倍；同（等）弧上的圓周角相等；直徑（半圓）上的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑； 5. 掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理：它溝通了圓內(nèi)外圖形的關(guān)系，并能應(yīng)用它解決有關(guān) 問題； 6. 注意：（1）垂徑定理及其推論是指：一條弦①在“過圓心”②“垂直于另一條弦” ③“平分這另一條弦”④“平分這另一條弦所對的劣弧”⑤“ 平分這另一條弦所對的優(yōu)弧”的五個(gè)條件中任意具有兩個(gè)條件，則必具有另外三個(gè)結(jié)論（當(dāng)①③為條件時(shí)要對另一條弦增加它不是直徑的限制），條理性的記憶，不但簡化了對它實(shí)際代表的10條定理的記憶且便于解題時(shí)的靈活應(yīng)用，垂徑定理提供了證明線段相等、角相等、垂直關(guān)系等的重要依據(jù)；（2）有弦可作弦心距組成垂徑定理圖形；見到直徑要想到它所對的圓周角是直角，想垂徑定理；想到過它的端點(diǎn)若有切線，則與它垂直，反之，若有垂線則是切線，想到它被圓心所平分；（3）見到四個(gè)點(diǎn)在圓上想到有4組相等的同弧所對的圓周角，要想到應(yīng)用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)。 〖考查重點(diǎn)與常見題型〗 1. 判斷基本概念、基本定理等的正誤，在中考題中常以選擇題、填空題的形式考查學(xué) 生對基本概念和基本定理的正確理解，如：下列語句中，正確的有（ ） （A）相等的圓心角所對的弧相等 （B）平分弦的直徑垂直于弦 （C）長度相等的兩條弧是等弧 （D）弦過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸 2. 論證線段相等、三角形相似、角相等、弧相等及線段的倍分等。

此種結(jié)論的證明重 點(diǎn)考查了全等三角形和相似三角形判定，垂徑定理及其推論、圓周角、圓心角的性質(zhì)及切線的性質(zhì)，弦切角等有關(guān)圓的基礎(chǔ)知識(shí)，常以解答題形式出現(xiàn)。 二，〖知識(shí)點(diǎn)〗 相交弦定理、切割線定理及其推論 〖大綱要求〗 1. 正誤相交弦定理、切割線定理及其推論； 2. 了解圓冪定理的內(nèi)在聯(lián)系； 3. 熟練地應(yīng)用定理解決有關(guān)問題； 4. 注意（1）相交弦定理、切割線定理及其推論統(tǒng)稱為圓冪定理，圓冪定理是圓和相似 三角形結(jié)合的產(chǎn)物。

這幾個(gè)定理可統(tǒng)一記憶成一個(gè)定理：過圓內(nèi)或圓外一點(diǎn)作圓的兩條割線，則這兩條割線被圓截出的兩弦被定點(diǎn)分（內(nèi)分或外分）成兩線段長的積相等（至于切線可看作是兩條交點(diǎn)重合的割線）。使用時(shí)注意每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)一個(gè)是公共點(diǎn)，另一個(gè)是與圓的交點(diǎn)； （2）見圓中有兩條相交想到相交弦定理；見到切線與一條割線相交則想到切割線定理；若有兩條切線相交則想到切線長定理，并熟悉此時(shí)圖形中存在著一個(gè)以交點(diǎn)和圓心連線為對稱軸的對稱圖形。

〖考查重點(diǎn)與常見題型〗 證明等積式、等比式及混合等式等。此種結(jié)論的證明重點(diǎn)考查了相似三角形，切割線定 理及其推論，相交弦定理及圓的一些知識(shí)。

常見題型以中檔解答題為主，也有一些出現(xiàn)在選擇題或填空題中。

7.初三數(shù)學(xué)“圓”的經(jīng)典題型

說幾個(gè)吧（應(yīng)該夠你做2天） 證明：如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點(diǎn)，那么（AF/FB）*(BD/DC)*(CE/EA)=1。

證明：同一三角形的垂心、重心、外心三點(diǎn)共線 證明：已知P為銳角△ABC內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)∠APB=∠BPC=∠CPA=120°時(shí)，PA+PB+PC的值最小， 證明：△ABC的內(nèi)切圓分別切邊AB、BC、CA于點(diǎn)D、E、F，則AE、BF、CD三線共點(diǎn) 證明：已知圓內(nèi)接六邊形ABCDEF的邊AB、DE延長線交于點(diǎn)G，邊BC、EF延長線交于點(diǎn)H，邊CD、FA延長線交于點(diǎn)K，則H、G、K三點(diǎn)共線 證明：一動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)A、B的距離之比等于定比m:n，則點(diǎn)P的軌跡，是以定比m:n內(nèi)分和外分定線段的兩個(gè)分點(diǎn)的連線為直徑的圓 難度系數(shù)均為N。

8.小學(xué)五年級數(shù)學(xué)關(guān)于圓的知識(shí)點(diǎn)

、圓：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。

2、圓心：圓任意兩條對稱軸的交點(diǎn)為圓心。 注：圓心一般符號(hào)O表示

3、直徑：通過圓心，并且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。直徑一般用字母d表示。

4、半徑：連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段，叫做圓的半徑。半徑一般用字母r表示。

5、圓的直徑和半徑都有無數(shù)條。圓是軸對稱圖形，每條直徑所在的直線是圓的對稱軸

6、在同圓或等圓中：直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的二分之一.d=2r或r=d/2。

7、圓的半徑或直徑?jīng)Q定圓的大小，圓心決定圓的位置。

8、圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長，用字母C表示。

9、圓周率：圓的周長與直徑的比值叫做圓周率。

10、圓的周長除以直徑的商是一個(gè)固定的數(shù)，把它叫做圓周率，它是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)（無理數(shù)），用字母π表示。計(jì)算時(shí)，通常取它的近似值，π≈3.14。

11、直徑所對的圓周角是直角。90°的圓周角所對的弦是直徑。

12、圓的面積公式：圓所占平面的大小叫做圓的面積。πr^2；，用字母S表示。

13、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。

14、在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么他們所對的圓心角相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。

二、周長計(jì)算公式

(1)已知直徑：C=πd

(2)已知半徑：C=2πr

(3)已知周長：D=c/π

(4)圓周長的一半：1/2周長（曲線）

(5)半圓的周長：1/2周長+直徑（π÷2+1）

三、面積計(jì)算公式：

(1)已知半徑：S=πr2

(2)已知直徑：S=π（d/2）2

(3)已知周長：S=π[c÷（2π）]2