小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)論(關(guān)于數(shù)論的一些)
1.關(guān)于數(shù)論的一些基礎(chǔ)知識(shí)
如果只是限定在初等數(shù)論中，那么初等數(shù)論的研究對(duì)象就比較窄，一般就是整數(shù)，甚至是自然數(shù)。高級(jí)一點(diǎn)的研究連分?jǐn)?shù)就突破這方面的限制。
從原則上來(lái)講，初等數(shù)論是研究負(fù)整數(shù)的，比如丟番圖方程。而如果只講最基礎(chǔ)的整除、素?cái)?shù)，研究自然數(shù)就夠了。
初等數(shù)論最基本的工具是整除和同余，整除就是6除以2是整數(shù)，就說(shuō)6能被2整除；6除以4是分?jǐn)?shù)，就說(shuō)6不能被2整除。同余就是兩個(gè)數(shù)用同一個(gè)數(shù)（稱為模）去除，看是否得到一樣的余數(shù)。比如對(duì)于模7,2和9同余，3和6不同余。
附帶的概念包括最大公約數(shù)等等，歐幾里德算法是求最大公約數(shù)的基本方法。
向較高方向發(fā)展可以包括，原根、二次剩余、Pell方程、數(shù)論函數(shù)、素?cái)?shù)分布、圖形格點(diǎn)等等?？傊?，初等數(shù)論所用的工具不會(huì)超過(guò)初等分析。
2.關(guān)于數(shù)論的一些基礎(chǔ)知識(shí)
如果只是限定在初等數(shù)論中，那么初等數(shù)論的研究對(duì)象就比較窄，一般就是整數(shù)，甚至是自然數(shù)。
高級(jí)一點(diǎn)的研究連分?jǐn)?shù)就突破這方面的限制。從原則上來(lái)講，初等數(shù)論是研究負(fù)整數(shù)的，比如丟番圖方程。
而如果只講最基礎(chǔ)的整除、素?cái)?shù)，研究自然數(shù)就夠了。初等數(shù)論最基本的工具是整除和同余，整除就是6除以2是整數(shù)，就說(shuō)6能被2整除；6除以4是分?jǐn)?shù)，就說(shuō)6不能被2整除。
同余就是兩個(gè)數(shù)用同一個(gè)數(shù)（稱為模）去除，看是否得到一樣的余數(shù)。比如對(duì)于模7,2和9同余，3和6不同余。
附帶的概念包括最大公約數(shù)等等，歐幾里德算法是求最大公約數(shù)的基本方法。向較高方向發(fā)展可以包括，原根、二次剩余、Pell方程、數(shù)論函數(shù)、素?cái)?shù)分布、圖形格點(diǎn)等等。
總之，初等數(shù)論所用的工具不會(huì)超過(guò)初等分析。
3.小學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)論指的是什么
小學(xué)課本并沒(méi)有涉及數(shù)論的內(nèi)容但是小學(xué)奧數(shù)有簡(jiǎn)單涉及：1.奇偶性問(wèn)題 奇奇=偶奇*奇=奇 奇偶=奇奇*偶=偶 偶偶=偶偶*偶=偶2.位值原則 形如：= 100a+10b+c3.數(shù)的整除特征：4.整除性質(zhì) ①如果c|a、c|b，那么c|(ab)。
②如果bc|a，那么b|a,c|a。 ③如果b|a,c|a，且（b,c）=1，那么bc|a。
④如果c|b,b|a，那么c|a。 ⑤a個(gè)連續(xù)自然數(shù)中必恰有一個(gè)數(shù)能被a整除。
5.帶余除法 一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b≠0），那么一定有另外兩個(gè)整數(shù)q和r,0≤r 當(dāng)r≠0時(shí)，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的不完全商（亦簡(jiǎn)稱為商）。用帶余數(shù)除式又可以表示為a÷b=q……r,0≤r6。
唯一分解定理 任何一個(gè)大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即 n=p1*p2*。
*pk7。
約數(shù)個(gè)數(shù)與約數(shù)和定理 設(shè)自然數(shù)n的質(zhì)因子分解式如n=p1*p2*。
*pk那么： n的約數(shù)個(gè)數(shù)：d(n)=(a1+1)(a2+1)。
(ak+1) n的所有約數(shù)和：（1+P1+P1+…p1）(1+P2+P2+…p2)…（1+Pk+Pk+…pk）8。
同余定理 ①同余定義：若兩個(gè)整數(shù)a,b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a,b對(duì)于模m同余，用式子表示為a≡b(modm) ②若兩個(gè)數(shù)a,b除以同一個(gè)數(shù)c得到的余數(shù)相同，則a,b的差一定能被c整除。 ③兩數(shù)的和除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)和。
④兩數(shù)的差除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)差。 ⑤兩數(shù)的積除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)積。
9.完全平方數(shù)性質(zhì) ①平方差：A-B=(A+B)(A-B)，其中我們還得注意A+B,A-B同奇偶性。 ②約數(shù)：約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)的是完全平方數(shù)。
約數(shù)個(gè)數(shù)為3的是質(zhì)數(shù)的平方。 ③質(zhì)因數(shù)分解：把數(shù)字分解，使他滿足積是平方數(shù)。
④平方和。10.孫子定理（中國(guó)剩余定理）11.輾轉(zhuǎn)相除法12.數(shù)論解題的常用方法： 枚舉、歸納、反證、構(gòu)造、配對(duì)、估計(jì)希望對(duì)您有幫助。
4.如何學(xué)好數(shù)論,需要那些基礎(chǔ)知識(shí)
數(shù)論主要是解析數(shù)論和代數(shù)數(shù)論兩個(gè)。
1.初等數(shù)論只要中學(xué)的知識(shí)作預(yù)備知識(shí)。
2.學(xué)習(xí)解析數(shù)論和代數(shù)數(shù)論之前，你需要學(xué)完數(shù)學(xué)系本科到研究生的大部分專業(yè)課。
3.代數(shù)數(shù)論的話，可能需要 本科的高等代數(shù)、抽象代數(shù)，研究生的交換代數(shù)，以及拓?fù)洹⒋鷶?shù)拓?fù)?、代?shù)幾何方向的內(nèi)容，這些掌握之后就能開(kāi)始看懂。
4.解析數(shù)論的話，需要 本科的 數(shù)學(xué)分析微積分、實(shí)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)、Fourier分析、和一些代數(shù)基礎(chǔ)，還需要研究生的 （單）復(fù)分析（關(guān)系非常密切） 可能也需要一點(diǎn)點(diǎn)實(shí)分析的內(nèi)容做鋪墊。
5.求有關(guān)初等數(shù)論的所有知識(shí)```
初等數(shù)論 研究數(shù)的規(guī)律，特別是整數(shù)性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支。
是數(shù)論的一個(gè)最古老的分支。它以算術(shù)方法為主要研究方法，主要內(nèi)容有整數(shù)的整除理論、不定方程、同余式等。
古希臘畢達(dá)哥拉斯是初等數(shù)論的先驅(qū)。他與他的學(xué)派致力于一些特殊整數(shù)（如親和數(shù)、完全數(shù)、多邊形數(shù)）及特殊不定方程的研究。
公元前4世紀(jì)，歐幾里德的《幾何原本》通過(guò)102個(gè)命題，初步建立了整數(shù)的整除理論。他關(guān)于“素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)”的證明，被認(rèn)為是數(shù)學(xué)證明的典范。
公元3世紀(jì)，丟番圖研究了若干不定方程，并分別設(shè)計(jì)巧妙解法，故后人稱不定方程為丟番圖方程。17世紀(jì)以來(lái)，P.de費(fèi)馬、L.歐拉、C.F.高斯 等人的工作大大豐富和發(fā)展了初等數(shù)論的內(nèi)容。
中國(guó)古代對(duì)初等數(shù)論的研究有著光輝的成就，《周髀算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《張邱建算經(jīng)》、《數(shù)書九章》等古文獻(xiàn)上都有記載。孫子定理比歐洲早500年， 西方常稱此定理為中國(guó)剩余定理，秦九韶的大衍求一術(shù)也馳名世界。
初等數(shù)論不僅是研究純數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是許多學(xué)科的重要工具。它的應(yīng)用是多方面的，如計(jì)算機(jī)科學(xué)、組合數(shù)學(xué)、密碼學(xué)、信息論等。
如公開(kāi)密鑰體制的提出是數(shù)論在密碼學(xué)中的重要應(yīng)用。 初等數(shù)論就是用初等、樸素的方法去研究數(shù)論。
另外還有解析數(shù)論（用解析的方法研究數(shù)論。）、代數(shù)數(shù)論（用代數(shù)結(jié)構(gòu)的方法研究數(shù)論）。
素?cái)?shù) 數(shù)論剛開(kāi)始的時(shí)候是用樸素的推理方法去研究整數(shù)的性質(zhì)，又以素?cái)?shù)最令人神往。古今不知道多少數(shù)學(xué)家都為了它而嘔心瀝血！研究素?cái)?shù)的性質(zhì)是數(shù)論中一個(gè)非常重要的方面！ 所謂素?cái)?shù)，就是一個(gè)正整數(shù)，它除了本身和 1 以外并沒(méi)有任何其他因子。
素?cái)?shù)就好象是正整數(shù)的原子一樣，著名的高斯「唯一分解定理」說(shuō)，任何一個(gè)整數(shù)?？梢詫懗梢淮|(zhì)數(shù)相乘的積。
但是至今仍然沒(méi)有一個(gè)一般的特別使用的式子可以表示所有的素?cái)?shù)。所以數(shù)論里關(guān)于素?cái)?shù)的兩個(gè)著名猜想非常困難：1哥德巴赫猜想 ：（Goldbach Conjecture） 內(nèi)容為“所有的大于2的偶數(shù)，都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)” 這個(gè)問(wèn)題是德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫（C.Goldbach,1690-1764）于1742年6月7日在給大數(shù)學(xué)家歐拉的信中提出的，所以被稱作哥德巴赫猜想。
同年6月30日，歐拉在回信中認(rèn)為這個(gè)猜想可能是真的，但他無(wú)法證明。從此，這道數(shù)學(xué)難題引起了幾乎所有數(shù)學(xué)家的注意。
哥德巴赫猜想由此成為數(shù)學(xué)皇冠上一顆可望不可即的“明珠”?！坝卯?dāng)代語(yǔ)言來(lái)敘述，哥德巴赫猜想有兩個(gè)內(nèi)容，第一部分叫做奇數(shù)的猜想，第二部分叫做偶數(shù)的猜想。
奇數(shù)的猜想指出，任何一個(gè)大于等于7的奇數(shù)都是三個(gè)素?cái)?shù)的和。偶數(shù)的猜想是說(shuō)，大于等于4的偶數(shù)一定是兩個(gè)素?cái)?shù)的和。”
（引自《哥德巴赫猜想與潘承洞》） 哥德巴赫猜想貌似簡(jiǎn)單，要證明它卻著實(shí)不易，成為數(shù)學(xué)中一個(gè)著名的難題。18、19世紀(jì)，所有的數(shù)論專家對(duì)這個(gè)猜想的證明都沒(méi)有作出實(shí)質(zhì)性的推進(jìn)，直到 20世紀(jì)才有所突破。
直接證明哥德巴赫猜想不行，人們采取了“迂回戰(zhàn)術(shù)”，就是先考慮把偶數(shù)表為兩數(shù)之和，而每一個(gè)數(shù)又是若干素?cái)?shù)之積。如果把命題"每一個(gè)大偶數(shù)可以表示成為一個(gè)素因子個(gè)數(shù)不超過(guò)a個(gè)的數(shù)與另一個(gè)素因子不超過(guò)b個(gè)的數(shù)之和"記作"a+b"，那么哥氏猜想就是要證明"1+1"成立。
1900年，20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特，在國(guó)際數(shù)學(xué)會(huì)議上把“哥德巴赫猜想”列為23個(gè)數(shù)學(xué)難題之一。此后，20世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們?cè)谑澜绶秶鷥?nèi)“聯(lián)手”進(jìn)攻“哥德巴赫猜想”堡壘，終于取得了輝煌的成果。
到了20世紀(jì)20年代，有人開(kāi)始向它靠近。1920年，挪威數(shù)學(xué)家布爵用一種古老的篩選法證明，得出了一個(gè)結(jié)論：每一個(gè)比6大的偶數(shù)都可以表示為（9+ 9）。
這種縮小包圍圈的辦法很管用，科學(xué)家們于是從（9十9）開(kāi)始，逐步減少每個(gè)數(shù)里所含質(zhì)數(shù)因子的個(gè)數(shù)，直到最后使每個(gè)數(shù)里都是一個(gè)質(zhì)數(shù)為止，這樣就證明了“哥德巴赫猜想”。 1920年，挪威的布朗（Brun）證明了 “9+9 ”。
1924年，德國(guó)的拉特馬赫（Rademacher）證明了“7+7 ”。 1932年，英國(guó)的埃斯特曼（Estermann）證明了 “6+6 ”。
1937年，意大利的蕾西（Ricei）先后證明了“5+7 ”, “4+9 ”, “3+15 ”和“2+366 ”。 1938年，蘇聯(lián)的布赫 夕太勃（Byxwrao）證明了“5+5 ”。
1940年，蘇聯(lián)的布赫 夕太勃（Byxwrao）證明了 “4+4 ”。 1948年，匈牙利的瑞尼（Renyi）證明了“1+c ”，其中c是一很大的自然數(shù)。
1956年，中國(guó)的王元證明了 “3+4 ”。 1957年，中國(guó)的王元先后證明了 “3+3 ”和 “2+3 ”。
1962年，中國(guó)的潘承洞和蘇聯(lián)的巴爾巴恩（BapoaH）證明了 “1+5 ”， 中國(guó)的王元證明了“1+4 ”。 1965年，蘇聯(lián)的布赫 夕太勃（Byxwrao）和小維諾格拉多夫（BHHopappB），及 意大利的朋比利（Bombieri）證明了“1+3 ”。
1966年，中國(guó)的陳景潤(rùn)證明了 “1+2 ”[用通俗的話說(shuō)，就是大偶數(shù)=素?cái)?shù)+素?cái)?shù)*素?cái)?shù)或大偶數(shù)=素?cái)?shù)+素?cái)?shù)（注：組成大偶數(shù)的素?cái)?shù)不可能是偶素?cái)?shù)，只能是奇素?cái)?shù)。因?yàn)樵谒財(cái)?shù)中只有一個(gè)偶素?cái)?shù)，那就是2。）
]。 其中“s + t ”問(wèn)題是指： s個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積 與t個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積之和 20世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們研究哥德巴赫猜想所采用的主要方法，是篩法、圓法、密率法和三角。
6.求有關(guān)初等數(shù)論的所有知識(shí)```
初等數(shù)論 研究數(shù)的規(guī)律，特別是整數(shù)性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支。
是數(shù)論的一個(gè)最古老的分支。它以算術(shù)方法為主要研究方法，主要內(nèi)容有整數(shù)的整除理論、不定方程、同余式等。
古希臘畢達(dá)哥拉斯是初等數(shù)論的先驅(qū)。他與他的學(xué)派致力于一些特殊整數(shù)（如親和數(shù)、完全數(shù)、多邊形數(shù)）及特殊不定方程的研究。
公元前4世紀(jì)，歐幾里德的《幾何原本》通過(guò)102個(gè)命題，初步建立了整數(shù)的整除理論。他關(guān)于“素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)”的證明，被認(rèn)為是數(shù)學(xué)證明的典范。
公元3世紀(jì)，丟番圖研究了若干不定方程，并分別設(shè)計(jì)巧妙解法，故后人稱不定方程為丟番圖方程。17世紀(jì)以來(lái)，P.de費(fèi)馬、L.歐拉、C.F.高斯 等人的工作大大豐富和發(fā)展了初等數(shù)論的內(nèi)容。
中國(guó)古代對(duì)初等數(shù)論的研究有著光輝的成就，《周髀算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《張邱建算經(jīng)》、《數(shù)書九章》等古文獻(xiàn)上都有記載。孫子定理比歐洲早500年， 西方常稱此定理為中國(guó)剩余定理，秦九韶的大衍求一術(shù)也馳名世界。
初等數(shù)論不僅是研究純數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是許多學(xué)科的重要工具。它的應(yīng)用是多方面的，如計(jì)算機(jī)科學(xué)、組合數(shù)學(xué)、密碼學(xué)、信息論等。
如公開(kāi)密鑰體制的提出是數(shù)論在密碼學(xué)中的重要應(yīng)用。 初等數(shù)論就是用初等、樸素的方法去研究數(shù)論。
另外還有解析數(shù)論（用解析的方法研究數(shù)論。）、代數(shù)數(shù)論（用代數(shù)結(jié)構(gòu)的方法研究數(shù)論）。
素?cái)?shù) 數(shù)論剛開(kāi)始的時(shí)候是用樸素的推理方法去研究整數(shù)的性質(zhì)，又以素?cái)?shù)最令人神往。古今不知道多少數(shù)學(xué)家都為了它而嘔心瀝血！研究素?cái)?shù)的性質(zhì)是數(shù)論中一個(gè)非常重要的方面！ 所謂素?cái)?shù)，就是一個(gè)正整數(shù)，它除了本身和 1 以外并沒(méi)有任何其他因子。
素?cái)?shù)就好象是正整數(shù)的原子一樣，著名的高斯「唯一分解定理」說(shuō)，任何一個(gè)整數(shù)?？梢詫懗梢淮|(zhì)數(shù)相乘的積。
但是至今仍然沒(méi)有一個(gè)一般的特別使用的式子可以表示所有的素?cái)?shù)。所以數(shù)論里關(guān)于素?cái)?shù)的兩個(gè)著名猜想非常困難：1哥德巴赫猜想 ：（Goldbach Conjecture） 內(nèi)容為“所有的大于2的偶數(shù)，都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)” 這個(gè)問(wèn)題是德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫（C.Goldbach,1690-1764）于1742年6月7日在給大數(shù)學(xué)家歐拉的信中提出的，所以被稱作哥德巴赫猜想。
同年6月30日，歐拉在回信中認(rèn)為這個(gè)猜想可能是真的，但他無(wú)法證明。從此，這道數(shù)學(xué)難題引起了幾乎所有數(shù)學(xué)家的注意。
哥德巴赫猜想由此成為數(shù)學(xué)皇冠上一顆可望不可即的“明珠”?！坝卯?dāng)代語(yǔ)言來(lái)敘述，哥德巴赫猜想有兩個(gè)內(nèi)容，第一部分叫做奇數(shù)的猜想，第二部分叫做偶數(shù)的猜想。
奇數(shù)的猜想指出，任何一個(gè)大于等于7的奇數(shù)都是三個(gè)素?cái)?shù)的和。偶數(shù)的猜想是說(shuō)，大于等于4的偶數(shù)一定是兩個(gè)素?cái)?shù)的和。”
（引自《哥德巴赫猜想與潘承洞》） 哥德巴赫猜想貌似簡(jiǎn)單，要證明它卻著實(shí)不易，成為數(shù)學(xué)中一個(gè)著名的難題。18、19世紀(jì)，所有的數(shù)論專家對(duì)這個(gè)猜想的證明都沒(méi)有作出實(shí)質(zhì)性的推進(jìn)，直到 20世紀(jì)才有所突破。
直接證明哥德巴赫猜想不行，人們采取了“迂回戰(zhàn)術(shù)”，就是先考慮把偶數(shù)表為兩數(shù)之和，而每一個(gè)數(shù)又是若干素?cái)?shù)之積。如果把命題"每一個(gè)大偶數(shù)可以表示成為一個(gè)素因子個(gè)數(shù)不超過(guò)a個(gè)的數(shù)與另一個(gè)素因子不超過(guò)b個(gè)的數(shù)之和"記作"a+b"，那么哥氏猜想就是要證明"1+1"成立。
1900年，20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特，在國(guó)際數(shù)學(xué)會(huì)議上把“哥德巴赫猜想”列為23個(gè)數(shù)學(xué)難題之一。此后，20世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們?cè)谑澜绶秶鷥?nèi)“聯(lián)手”進(jìn)攻“哥德巴赫猜想”堡壘，終于取得了輝煌的成果。
到了20世紀(jì)20年代，有人開(kāi)始向它靠近。1920年，挪威數(shù)學(xué)家布爵用一種古老的篩選法證明，得出了一個(gè)結(jié)論：每一個(gè)比6大的偶數(shù)都可以表示為（9+ 9）。
這種縮小包圍圈的辦法很管用，科學(xué)家們于是從（9十9）開(kāi)始，逐步減少每個(gè)數(shù)里所含質(zhì)數(shù)因子的個(gè)數(shù)，直到最后使每個(gè)數(shù)里都是一個(gè)質(zhì)數(shù)為止，這樣就證明了“哥德巴赫猜想”。 1920年，挪威的布朗（Brun）證明了 “9+9 ”。
1924年，德國(guó)的拉特馬赫（Rademacher）證明了“7+7 ”。 1932年，英國(guó)的埃斯特曼（Estermann）證明了 “6+6 ”。
1937年，意大利的蕾西（Ricei）先后證明了“5+7 ”, “4+9 ”, “3+15 ”和“2+366 ”。 1938年，蘇聯(lián)的布赫 夕太勃（Byxwrao）證明了“5+5 ”。
1940年，蘇聯(lián)的布赫 夕太勃（Byxwrao）證明了 “4+4 ”。 1948年，匈牙利的瑞尼（Renyi）證明了“1+c ”，其中c是一很大的自然數(shù)。
1956年，中國(guó)的王元證明了 “3+4 ”。 1957年，中國(guó)的王元先后證明了 “3+3 ”和 “2+3 ”。
1962年，中國(guó)的潘承洞和蘇聯(lián)的巴爾巴恩（BapoaH）證明了 “1+5 ”， 中國(guó)的王元證明了“1+4 ”。 1965年，蘇聯(lián)的布赫 夕太勃（Byxwrao）和小維諾格拉多夫（BHHopappB），及 意大利的朋比利（Bombieri）證明了“1+3 ”。
1966年，中國(guó)的陳景潤(rùn)證明了 “1+2 ”[用通俗的話說(shuō)，就是大偶數(shù)=素?cái)?shù)+素?cái)?shù)*素?cái)?shù)或大偶數(shù)=素?cái)?shù)+素?cái)?shù)（注：組成大偶數(shù)的素?cái)?shù)不可能是偶素?cái)?shù)，只能是奇素?cái)?shù)。因?yàn)樵谒財(cái)?shù)中只有一個(gè)偶素?cái)?shù)，那就是2。）
]。 其中“s + t ”問(wèn)題是指： s個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積 與t個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積之和 20世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們研究哥德巴赫猜想所采用的主要方法，是篩法、圓法、密率法和三角和。
7.小學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)論指的是什么
小學(xué)課本并沒(méi)有涉及數(shù)論的內(nèi)容
但是小學(xué)奧數(shù)有簡(jiǎn)單涉及：
1.奇偶性問(wèn)題
奇奇=偶奇*奇=奇 奇偶=奇奇*偶=偶 偶偶=偶偶*偶=偶
2.位值原則 形如：= 100a+10b+c
3.數(shù)的整除特征：
4.整除性質(zhì)
①如果c|a、c|b，那么c|(ab)。 ②如果bc|a，那么b|a,c|a。
③如果b|a,c|a，且（b,c）=1，那么bc|a。 ④如果c|b,b|a，那么c|a。
⑤a個(gè)連續(xù)自然數(shù)中必恰有一個(gè)數(shù)能被a整除。
5.帶余除法
一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b≠0），那么一定有另外兩個(gè)整數(shù)q和r,0≤r當(dāng)r≠0時(shí)，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的不完全商（亦簡(jiǎn)稱為商）。用帶余數(shù)除式又可以表示為a÷b=q……r,0≤r6。唯一分解定理
任何一個(gè)大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即 n=p1*p2*。。。*pk
7。約數(shù)個(gè)數(shù)與約數(shù)和定理
設(shè)自然數(shù)n的質(zhì)因子分解式如n=p1*p2*。。。*pk那么：
n的約數(shù)個(gè)數(shù)：d(n)=(a1+1)(a2+1)。。。。(ak+1)
n的所有約數(shù)和：（1+P1+P1+…p1）(1+P2+P2+…p2)…（1+Pk+Pk+…pk）
8。同余定理
①同余定義：若兩個(gè)整數(shù)a,b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a,b對(duì)于模m同余，用式子表示為a≡b(modm)
②若兩個(gè)數(shù)a,b除以同一個(gè)數(shù)c得到的余數(shù)相同，則a,b的差一定能被c整除。
③兩數(shù)的和除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)和。
④兩數(shù)的差除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)差。
⑤兩數(shù)的積除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)積。
9.完全平方數(shù)性質(zhì)
①平方差：A-B=(A+B)(A-B)，其中我們還得注意A+B,A-B同奇偶性。
②約數(shù)：約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)的是完全平方數(shù)。 約數(shù)個(gè)數(shù)為3的是質(zhì)數(shù)的平方。
③質(zhì)因數(shù)分解：把數(shù)字分解，使他滿足積是平方數(shù)。 ④平方和。
10.孫子定理（中國(guó)剩余定理）
11.輾轉(zhuǎn)相除法
12.數(shù)論解題的常用方法： 枚舉、歸納、反證、構(gòu)造、配對(duì)、估計(jì)
希望對(duì)您有幫助
8.初等數(shù)論怎么學(xué)習(xí)
初等數(shù)論也稱整數(shù)論，主要研究整數(shù)的性質(zhì)和方程的整數(shù)解，是一門非常重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論分支.由于初等數(shù)論中的問(wèn)題簡(jiǎn)明易懂，所以它比任何其它的數(shù)學(xué)分支更能引起人們的注意.近代數(shù)學(xué)中許多重要的思想、概念、方法和技巧都是從對(duì)整數(shù)性質(zhì)的深入研究而不斷豐富和發(fā)展起來(lái)的. 本課程3學(xué)分，學(xué)時(shí)為54。
本課程共分5章，分別介紹了整除理論、不定方程、同余理論和連分?jǐn)?shù)，重點(diǎn)講解了整數(shù)的整除性、不定方程、一元同余理論、平方剩余等四個(gè)模塊。本課程的主要任務(wù)是一方面使學(xué)生加深對(duì)整數(shù)及其性質(zhì)的理解，另一方面使學(xué)生能夠掌握基本的初等數(shù)論的研究方法和技巧，有利于學(xué)生更好地進(jìn)行初等數(shù)學(xué)的教學(xué)。
本課程的文字教材根據(jù)知識(shí)點(diǎn)的難易程度配備了一系列例題和練習(xí)題，還編制了20學(xué)時(shí)的IP課件供學(xué)生在網(wǎng)上學(xué)習(xí)，并編制了一系列網(wǎng)上輔導(dǎo)練習(xí)題. 整數(shù)的整除性模塊要求掌握整數(shù)的整除、公因子、素?cái)?shù)的概念及性質(zhì)，熟練運(yùn)用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)整數(shù)的最大公因子，最小公倍數(shù)，深入理解剩余定理和算術(shù)基本定理.會(huì)用篩法求簡(jiǎn)單的素?cái)?shù)表；會(huì)利用抽屜原理證明一些有關(guān)整數(shù)是某個(gè)特定整數(shù)的倍數(shù)的簡(jiǎn)單問(wèn)題. 不定方程模塊要求牢記二元一次不定方程有整數(shù)解的條件，二元一次不定方程整數(shù)解的形式，熟練掌握利用剩余定理（輾轉(zhuǎn)相除法）求二元一次不定方程整數(shù)解的方法；知道多元一次不定方程有解的條件，會(huì)求解簡(jiǎn)單的多元（三元）一次不定方程的整數(shù)解；知道不定方程 的整數(shù)解的形式，會(huì)求形如 的整數(shù)解，并且能夠證明一些簡(jiǎn)單的有關(guān)問(wèn)題. 一元同余理論模塊要求會(huì)利用同余的性質(zhì)，簡(jiǎn)單驗(yàn)證整數(shù)乘積運(yùn)算的結(jié)果；熟練掌握判斷剩余系的方法，理解歐拉函數(shù)的定義及性質(zhì)；了解歐拉定理、Fermat小定理，掌握循環(huán)小數(shù)的判定方法；掌握一次同余式有解的條件，熟練掌握求解一次同余式；掌握中國(guó)剩余定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，掌握求解簡(jiǎn)單同余式方程組的方法；了解高次同余式解的個(gè)數(shù)的判斷方法，知道解高次同余式的方法，了解模整數(shù)同余式與模素?cái)?shù)同余式的關(guān)系，掌握求簡(jiǎn)單的（3、4次）同余式解的方法. 平方剩余模塊要求理解二次同余式的一般形式、模整數(shù)同余與模素?cái)?shù)冪同余的關(guān)系、平方剩余與平方非剩余的概念；理解單素?cái)?shù)的平方剩余與平方非剩余的歐拉判定法，了解單素?cái)?shù)的平方剩余與平方非剩余的個(gè)數(shù)；了解Legendre符號(hào)的定義、性質(zhì)及Jacobi符號(hào)的定義、性質(zhì)，熟練掌握利用Legendre和Jacobi符號(hào)判斷同余式的解的存在性；掌握非素?cái)?shù)模的二次同余式有解的條件及解的個(gè)數(shù)的有關(guān)結(jié)論；會(huì)對(duì)素?cái)?shù)p討論不定方程 有整數(shù)解的條件；掌握求原根的簡(jiǎn)單方法；會(huì)利用原根得到整數(shù)簡(jiǎn)化剩余系的方法；掌握指標(biāo)的應(yīng)用（討論同余式有解的條件及解的個(gè)數(shù)）. 在許多數(shù)論問(wèn)題的研究方面，我國(guó)都處于領(lǐng)先地位，如老一輩著名數(shù)學(xué)家華羅庚、柯召、閔嗣鶴等都曾取得過(guò)輝煌的成就，特別是華羅庚教授在解析數(shù)論方面的成果是舉世公認(rèn)的.60年代后，著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)、王元、潘承洞等在Goldbach猜想等問(wèn)題上也取得了國(guó)際領(lǐng)先的成果. 怎樣才能學(xué)好本課程？我們唯一的建議是去做，去實(shí)踐.學(xué)習(xí)初等數(shù)論就像學(xué)習(xí)一門新的實(shí)踐和實(shí)用技術(shù)課程一樣，必須多練習(xí)，最好是一節(jié)一練，甚至是一定理（或一例題）一練習(xí)，如遇不懂之處，可反復(fù)看書或反復(fù)看舉例題或反復(fù)做配套練習(xí)題，或許您會(huì)豁然開(kāi)朗。學(xué)好本課程對(duì)有否本專業(yè)知識(shí)背景要求不高，只要你能花時(shí)間認(rèn)真去學(xué)，有些公式需要去記去背，并會(huì)靈活應(yīng)用，抓住關(guān)鍵點(diǎn)。
學(xué)習(xí)一門課程還需要有一定的技巧，學(xué)會(huì)分類和概括，抓住關(guān)節(jié)點(diǎn)，不知不覺(jué)就激起了您對(duì)學(xué)習(xí)和探討本課程的興趣和積極性，學(xué)起來(lái)就更加得心應(yīng)手.。
9.小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
以下內(nèi)容希望對(duì)你有所幫助！ 首先，奧數(shù)教學(xué)能夠激發(fā)小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
奧數(shù)題目往往從結(jié)構(gòu)到解法都充滿著藝術(shù)的魅力，易于小學(xué)生積極探索解法，而在探索解法的過(guò)程中，小學(xué)生又親身體驗(yàn)到數(shù)學(xué)思想的博大精深和數(shù)學(xué)方法的創(chuàng)造力，因此會(huì)產(chǎn)生進(jìn)一步對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的向往感、入迷感。 其次，奧數(shù)教學(xué)能夠激發(fā)小學(xué)生的數(shù)學(xué)審美感。
數(shù)學(xué)的美在許多的奧數(shù)題目中得到了集中的體現(xiàn)。讓我們先來(lái)觀察奧數(shù)題的—系列解題技巧：構(gòu)造、對(duì)應(yīng)、逆推、區(qū)分、染色、對(duì)稱、配對(duì)、特殊化、一般化、優(yōu)化、假設(shè)、輔助圖表……令人眼花繚亂。
這些解題技巧是一種高智力水平的藝術(shù)，能帶給小學(xué)生—種獨(dú)立于詩(shī)歌、音樂(lè)、繪畫之外的另一種審美感受。 再次，奧數(shù)教學(xué)能夠激發(fā)小學(xué)生的創(chuàng)造力。
奧數(shù)題的求解更要依賴的是整體全面的洞察力、敏銳的直覺(jué)和獨(dú)創(chuàng)性的構(gòu)思，這些正是創(chuàng)造力構(gòu)成的主要元素，而這些創(chuàng)造力的主要元素也正是系統(tǒng)接受過(guò)奧數(shù)教學(xué)的小學(xué)生之所長(zhǎng)。 一年級(jí)奧數(shù)： 一年級(jí)的孩子剛剛踏入小學(xué)。
不論是學(xué)習(xí)習(xí)慣還是學(xué)習(xí)方法，都需要全面的培養(yǎng)和正確的引導(dǎo)，這就需要家長(zhǎng)對(duì)整個(gè)六年的小學(xué)學(xué)習(xí)有一個(gè)全面的規(guī)劃。 學(xué)習(xí)重點(diǎn)難點(diǎn)解析： 1.巧算與速算的基本知識(shí)：對(duì)于一年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，計(jì)算是學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)遇到的第一個(gè)問(wèn)題。
如果能夠在看似無(wú)序的算式中尋找到一定的規(guī)律，化繁為簡(jiǎn)，那么學(xué)生一定能夠增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。另外，計(jì)算與速算是各種后續(xù)問(wèn)題學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。
學(xué)好數(shù)學(xué)，首先就要過(guò)計(jì)算這關(guān)。 2.認(rèn)識(shí)并學(xué)會(huì)數(shù)各種基本圖形：正方形、長(zhǎng)方體、圓和立方體等是小學(xué)學(xué)習(xí)中最常見(jiàn)的圖形。
通過(guò)系統(tǒng)的指導(dǎo)，使一年級(jí)的學(xué)生能夠計(jì)算出各種基本圖形的個(gè)數(shù)；使學(xué)生建立起有序思維，為建立思維模式打下基礎(chǔ)。 3.學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單的枚舉法：枚舉法對(duì)于一年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)的確是有一定的困難。
在華數(shù)課本中，介紹這一難題時(shí)采用數(shù)數(shù)這種更為直觀的方式，將復(fù)雜抽象的問(wèn)題形象化，便于孩子們理解。枚舉法訓(xùn)練的重點(diǎn)在于有序的思維方式，學(xué)習(xí)之初將抽象問(wèn)題形象化，能夠更好地引導(dǎo)學(xué)生去主動(dòng)思考，建立起自己的思維方式。
4.數(shù)字的奇與偶、不等與相等等關(guān)于數(shù)論的基礎(chǔ)知識(shí)：數(shù)論問(wèn)題是后續(xù)學(xué)習(xí)中的一個(gè)重點(diǎn)，而這學(xué)期將要學(xué)到的：數(shù)字的奇與偶、不等與相等等無(wú)疑將會(huì)是今后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，在這里我們把數(shù)論問(wèn)題分解為各種類型逐一講解，使華數(shù)學(xué)習(xí)更加系統(tǒng)。 二年級(jí)奧數(shù)： 二年級(jí)是開(kāi)發(fā)孩子智力、形成良好思維習(xí)慣的最佳時(shí)期，學(xué)習(xí)奧數(shù)不僅能夠極大地鍛煉孩子的思維能力，也能為孩子之后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
對(duì)于二年級(jí)的學(xué)生家長(zhǎng)來(lái)說(shuō)，激發(fā)孩子對(duì)華數(shù)的興趣是最主要的。 學(xué)習(xí)重點(diǎn)難點(diǎn)解析： 1、計(jì)算要過(guò)關(guān)：對(duì)于二年級(jí)學(xué)生的奧數(shù)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，最先碰到的問(wèn)題就是計(jì)算問(wèn)題，計(jì)算問(wèn)題是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。
根據(jù)學(xué)校數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)情況，孩子還沒(méi)有學(xué)習(xí)乘除法的列豎式，尤其是乘法的列豎式在二年級(jí)華數(shù)的學(xué)習(xí)中要求的比較多，比如華數(shù)課本下冊(cè)第三講速算與巧算中就多次用到了乘法，另外一些應(yīng)用題中也會(huì)有所應(yīng)用。所以對(duì)于學(xué)習(xí)下冊(cè)華數(shù)的學(xué)生，首先計(jì)算關(guān)一定要過(guò)。
2、枚舉是難點(diǎn)：對(duì)于二年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，有序思維和抽象思維是比較困難的，對(duì)于問(wèn)題，二年級(jí)的學(xué)生更多的愿意以湊數(shù)來(lái)嘗試解答問(wèn)題。而枚舉法的問(wèn)題需要的就是孩子的有序思維，比如華數(shù)課本上冊(cè)幾枚硬幣湊錢的方法，下冊(cè)的整數(shù)拆分都屬于枚舉法的問(wèn)題。
這類問(wèn)題不僅要求孩子要有序，同時(shí)直觀性不強(qiáng)，對(duì)于孩子理解有一定困難。建議家長(zhǎng)可以比較抽象的問(wèn)題形象化，比如上面舉到的漢堡和汽水的例子就更加形象。
3、應(yīng)用題要接觸：二年級(jí)華數(shù)課本下冊(cè)中的后幾講已經(jīng)接觸到了應(yīng)用題部分，對(duì)于倍數(shù)等概念也有學(xué)習(xí)，建議學(xué)有余力的孩子可以適當(dāng)接觸三年級(jí)中的部分問(wèn)題，但是難度不要像三年級(jí)華數(shù)課本中那樣大。 三年級(jí)奧數(shù)： 三年級(jí)的奧數(shù)學(xué)習(xí)是小學(xué)奧數(shù)最重要的基礎(chǔ)階段，只有牢固掌握了三年級(jí)奧數(shù)最基本的知識(shí)技巧，才能有效的促進(jìn)今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，最終在競(jìng)賽、以及小升初中有所斬獲。
學(xué)習(xí)重點(diǎn)難點(diǎn)解析： 三年級(jí)屬于奧數(shù)學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)階段，孩子進(jìn)入三年級(jí)以后，隨著年齡的增長(zhǎng)，孩子的計(jì)算能力，認(rèn)知能力，邏輯分析能力相比于一、二年級(jí)有很大的提高，這個(gè)時(shí)期是奧數(shù)思維形成的關(guān)鍵時(shí)期，是學(xué)奧數(shù)的黃金時(shí)段，所以能否把握住三年級(jí)這一黃金時(shí)段，關(guān)系到以后小升初的成與敗。下面就簡(jiǎn)要介紹一下三年級(jí)下學(xué)期學(xué)習(xí)的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)。
1.運(yùn)用運(yùn)算定律及性質(zhì)速算與巧算 計(jì)算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本知識(shí)，也是學(xué)好奧數(shù)的基礎(chǔ)。能否又快又準(zhǔn)的算出答案，是歷年數(shù)學(xué)競(jìng)賽考察的一個(gè)基本點(diǎn)。
在三年級(jí)，主要學(xué)習(xí)了加法與乘法運(yùn)算定律，其中應(yīng)用乘法分配率是競(jìng)賽中考察巧算的一大重點(diǎn)；除此之外，競(jìng)賽中還時(shí)?？疾鞄Х?hào)“搬家”與添括號(hào)/去括號(hào)這兩種通過(guò)改變運(yùn)算順序進(jìn)而簡(jiǎn)便運(yùn)算的思路。例如：17*5+17*7+13*5+13*7 問(wèn)題解析：由于四個(gè)加項(xiàng)沒(méi)有公共的乘數(shù)，不能直接應(yīng)用乘法分配率。
可以考慮先分組應(yīng)用乘法分配率，在觀察的思路，原式=（17*5+17*7）+(13*5+13*7)=17*(5+7)+13*(5+7)=17。
10.初等數(shù)論的初等數(shù)論內(nèi)容
初等數(shù)論有以下幾部分內(nèi)容：
1.整除理論。引入整除、因數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)等基本概念。這一理論的主要成果有：唯一分解定理、裴蜀定理、歐幾里德的輾轉(zhuǎn)相除法、算術(shù)基本定理、素?cái)?shù)個(gè)數(shù)無(wú)限證明。
2.同余理論。主要出自于高斯的《算術(shù)研究》內(nèi)容。定義了同余、原根、指數(shù)、平方剩余、同余方程等概念。主要成果：二次互反律、歐拉定理、費(fèi)馬小定理、威爾遜定理、孫子定理（即中國(guó)剩余定理）等等。
3.連分?jǐn)?shù)理論。引入了連分?jǐn)?shù)概念和算法等等。特別是研究了整數(shù)平方根的連分?jǐn)?shù)展開(kāi)。主要成果：循環(huán)連分?jǐn)?shù)展開(kāi)、最佳逼近問(wèn)題、佩爾方程求解。
4.不定方程。主要研究了低次代數(shù)曲線對(duì)應(yīng)的不定方程，比如勾股方程的商高定理、佩爾方程的連分?jǐn)?shù)求解。也包括了四次費(fèi)馬方程的求解問(wèn)題等等。
5.數(shù)論函數(shù)。比如歐拉函數(shù)、莫比烏斯變換等等。
6.高斯函數(shù)。 第一個(gè)層次叫做數(shù)學(xué)概念，是反映對(duì)象的本質(zhì)屬性的思維形式。人類在認(rèn)識(shí)過(guò)程中，從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，把所感知的事物的共同本質(zhì)特點(diǎn)抽象出來(lái)，加以概括，就成為概念。表達(dá)概念的語(yǔ)言形式是詞或詞組?？茖W(xué)概念，特別是數(shù)學(xué)概念要求更加嚴(yán)格，至少必須具備三個(gè)條件：專一性，精確性，可以檢驗(yàn)。例如：”孿生素?cái)?shù)“就是一個(gè)數(shù)學(xué)概念。
第二個(gè)層次叫做數(shù)學(xué)命題，數(shù)學(xué)命題是對(duì)一系列數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系作出判斷的句子。一個(gè)命題要么真，要么不真（這由邏輯中的排中律保證）。真命題包含定理，引理，推論，事實(shí)等。命題既可以是存在性命題（表述為”存在。。."），也可以是全稱命題（表述為“對(duì)于一切。.."）。 第三個(gè)層次叫做數(shù)學(xué)理論，把方法，公式，公理，定理，原理，組合成為一個(gè)體系叫做數(shù)學(xué)理論。例如“初等數(shù)論”，由公理（例如等量公理），定理（例如費(fèi)馬小定理），原理（例如抽屜原理，一一對(duì)應(yīng)原理），公式等組成。 在數(shù)學(xué)證明時(shí)，全稱命題常常不能通過(guò)枚舉法來(lái)判斷真?zhèn)危@是因?yàn)閿?shù)學(xué)有時(shí)面對(duì)的是無(wú)窮多個(gè)對(duì)象，永遠(yuǎn)不可能一一枚舉出每一種情況。不完全歸納法在數(shù)學(xué)中是不可行的，數(shù)學(xué)只承認(rèn)演繹邏輯（數(shù)學(xué)歸納法，超限歸納法等均屬于演繹邏輯）。
