集合的(集合的)

1.集合的基礎(chǔ)知識(shí)

集合

jíhé

[assemble;collect;congrate;converge;muster;rally;gether;call together] 分散的人或事物聚集到一起；使聚集

緊急集合

集合

jíhé

[aggregate] 一組具有某種共同性質(zhì)的數(shù)學(xué)元素

有理數(shù)的集合

一.數(shù)學(xué)術(shù)語

集合的概念：

一定范圍的，確定的，可以區(qū)別的事物，當(dāng)作一個(gè)整體來看待，就叫做集合，簡(jiǎn)稱集，其中各事物叫做集合的元素或簡(jiǎn)稱元。如（1）阿Q正傳中出現(xiàn)的不同漢字（2）全體英文大寫字母

集合的分類：

并集：以屬于A或?qū)儆贐的元素為元素的集合成為A與B的并（集）

交集： 以屬于A且屬于B的元素為元素的集合成為A與B的交（集）

差：以屬于A而不屬于B的元素為元素的集合成為A與B的差（集）

注：空集屬于任何集合，但它不屬于任何元素.

某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，含有有限個(gè)元素叫有限集，含有無限個(gè)元素叫無限集，空集是不含任何元素的集，記做Φ。

集合的性質(zhì)：

確定性：每一個(gè)對(duì)象都能確定是不是某一集合的元素，沒有確定性就不能成為集合，例如“個(gè)子高的同學(xué)”“很小的數(shù)”都不能構(gòu)成集合。

互異性：集合中任意兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象。不能寫成{1,1,2}應(yīng)寫成{1,2}

無序性：{a,b,c}{c,b,a}是同一個(gè)集合。

二.動(dòng)詞

表示一種呼叫某人或一群人集中在一起的口令.

集合的表示方法，常用的有列舉法和描述法。

集合學(xué)

集合論（簡(jiǎn)稱集論）是一門研究集合的數(shù)學(xué)理論。這里的集合指由一些抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象構(gòu)成的整體。集合、元素和成員關(guān)系是數(shù)學(xué)中最基本的概念。集論（加上邏輯和謂詞演算）是數(shù)學(xué)的公理化基礎(chǔ)之一，通過集合及成員關(guān)系來形式化地表示其它數(shù)學(xué)對(duì)象。

集合論可以用來表示一系列略有不同的概念：

樸素集合論是由19世紀(jì)末的德國(guó)數(shù)學(xué)家康托最早提出的集合論。

公理化集合論是一個(gè)更加嚴(yán)格的理論，它是發(fā)現(xiàn)了原始集合論里的一些錯(cuò)誤（如：羅素悖論）后而修正的。

Z集合論由德國(guó)數(shù)學(xué)家Ernst Zermelo創(chuàng)立的一個(gè)公理集合論。

ZF集合論是最常用的公理集合論，由Abraham Fraenkel和Thoralf Skolem擴(kuò)展了Z集合論所得。

不同的邏輯系統(tǒng)有相應(yīng)不同的集合（如模糊邏輯里的模糊集合）。

音樂集合理論可以被看成是集合論在音樂上的應(yīng)用。

2.有關(guān)集合的相關(guān)知識(shí)

1、集合的含義：把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合（簡(jiǎn)稱集）。

用大寫字母A,B,C…表示集合，用小寫字母a,b,c…表示集合中的元素.2.集合的分類：有限集——含有有限個(gè)元素的集合。 無限集——含有無限個(gè)元素的集合。

3、特性：1.確定性：給定的集合，他的元素必須是確定的，也就是說給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了2.互異性：一個(gè)給定的集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不能相同3.無序性：集合中的元素是無先后順序的， 即集合里的任何兩個(gè)元素可以交換位置4、集合的表示方法：1.自然語言法：用文字把元素所具有的屬性描述出來， 并用花括號(hào){}括起來表示. 如﹛自然數(shù)﹜ 2.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來的方法， 也用花括號(hào){}括起來表示.如：{1,2,3,4}3.描述法：用集合所含的共同特征表示集合 的方法.如：{x| P(x)}或{x∈A| P(x)}注意：舉例法和描述法不要混淆了~如：{x| 1,2,3,4} （這樣是錯(cuò)誤的），應(yīng)該是：{1,2,3,4}或：{x∈N*| 0。

3.集合的相關(guān)知識(shí)

1、集合的含義：把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合（簡(jiǎn)稱集）。

用大寫字母A,B,C…表示集合，用小寫字母a,b,c…表示集合中的元素.

2.集合的分類：

有限集——含有有限個(gè)元素的集合。

無限集——含有無限個(gè)元素的集合。

3、特性：

1.確定性：給定的集合，他的元素必須是確定的，也就是說給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了

2.互異性：一個(gè)給定的集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不能相同

3.無序性：集合中的元素是無先后順序的， 即集合里的任何兩個(gè)元素可以交換位置

4、集合的表示方法：

1.自然語言法：用文字把元素所具有的屬性描述出來， 并用花括號(hào){}括起來表示. 如﹛自然數(shù)﹜

2.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來的方法， 也用花括號(hào){}括起來表示.如：{1,2,3,4}

3.描述法：用集合所含的共同特征表示集合 的方法.如：{x| P(x)}或{x∈A| P(x)}

注意：舉例法和描述法不要混淆了~如：{x| 1,2,3,4} （這樣是錯(cuò)誤的），應(yīng)該是：{1,2,3,4}或：{x∈N*| 0

4.集合的相關(guān)知識(shí)

1、集合的含義：把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合（簡(jiǎn)稱集）。

用大寫字母A,B,C…表示集合，用小寫字母a,b,c…表示集合中的元素.2.集合的分類：有限集——含有有限個(gè)元素的集合。 無限集——含有無限個(gè)元素的集合。

3、特性：1.確定性：給定的集合，他的元素必須是確定的，也就是說給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了2.互異性：一個(gè)給定的集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不能相同3.無序性：集合中的元素是無先后順序的， 即集合里的任何兩個(gè)元素可以交換位置4、集合的表示方法：1.自然語言法：用文字把元素所具有的屬性描述出來， 并用花括號(hào){}括起來表示. 如﹛自然數(shù)﹜ 2.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來的方法， 也用花括號(hào){}括起來表示.如：{1,2,3,4}3.描述法：用集合所含的共同特征表示集合 的方法.如：{x| P(x)}或{x∈A| P(x)}注意：舉例法和描述法不要混淆了~如：{x| 1,2,3,4} （這樣是錯(cuò)誤的），應(yīng)該是：{1,2,3,4}或：{x∈N*| 0。

5.能給我詳解一下關(guān)于集合的基礎(chǔ)知識(shí)

1、對(duì)于兩個(gè)集合A、B，二者之間一定具有包含關(guān)系嗎？試舉例說明。

2、兩個(gè)實(shí)數(shù)可以進(jìn)行加、減、乘、除四則運(yùn)算，那么兩個(gè)集合是否也可以進(jìn)行某種運(yùn)算呢？

知識(shí)探究（一）

考察下列兩組集合：

(1)A={1,3,5},B={1,2,3,4},C={1,2,3,4,5}

(2)A={x|0思考：上述兩組集合中，集合A、B與集合C的關(guān)系如何？

由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集。

思考：我們用符號(hào)“A∪B”表示集合A與B的并集，并讀作“A并B”，那么如何用描述法表示集合A∪B?

思考：如何用venn圖表示A∪B?

思考：集合A、B與集合A∪B的關(guān)系如何？A∪B與B∪A的關(guān)系如何？

思考：集合A∪A,A∪分別等于什么？

思考：若AB，則A∪B等于什么？反之成立嗎？

思考：如A∪B=，則說明什么？

并集例題：

例1：設(shè)A={4,5,6,8},B={3,5,7,8}，求A∪B。

例2：設(shè)集合A={x|-1知識(shí)探究（二）

考察下列兩組集合：

(1)A={1,3,5},B={1,2,3,4},C={1,3}

(2)A={x|0思考：上述兩組集合中，集合A、B與集合C的關(guān)系如何？

由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為集合A與B的交集。

我們用符號(hào)“A∩B”表示集合A與B的交集，并讀作“A交B”，那么如何用描述法表示集合A∩B?

思考：如何用venn圖表示A∩B?

思考：集合A、B與集合A∩B的關(guān)系如何？A∩B與B∩A的關(guān)系如何？

思考：集合A∩A,A∩分別等于什么？

思考：若AB，則A∩B等于什么？反之成立嗎？

思考：如A∩B=，則說明什么？

交集例題：

例3:A={x|x是新華中學(xué)高一年級(jí)參加百米賽跑的同學(xué)}，B={x|x是新華中學(xué)高一年級(jí)參加跳高比賽的同學(xué)}。求A∪B。

例4：設(shè)平面內(nèi)直線l1上點(diǎn)的集合為L(zhǎng)1，直線l2上點(diǎn)的集合為L(zhǎng)2，試用集合的運(yùn)算表示l1,l2的位置關(guān)系。

知識(shí)探究（三）

思考：方程（x-2）(x2-3)=0在有理數(shù)范圍內(nèi)的解是什么？在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解是什么？

思考：不等式0由此看來：在不同范圍內(nèi)研究同一個(gè)問題，可能有不同的結(jié)果，我們通常把研究問題前給定的范圍所對(duì)應(yīng)的集合稱為全集，如Q,R,Z等，那么全集的含義如何呢？

如果一個(gè)集合含有所研究問題中涉及的所有元素，則稱這個(gè)集合為全集，通常記作U。

知識(shí)探究（四）

考察下列各組集合：

(1)U={1,2,3,4，…，10},A={1,3,5,7,9},B={2,4,6,8,10}

(2)U={x|x是市一高一年級(jí)2班的同學(xué)}，A={x|x是市一高一年級(jí)2班的男同學(xué)}，U={x|x是市一高一年級(jí)2班的女同學(xué)}

(3)U={x|0思考：在上述各組集合中，把集合U看成全集，我們稱集合B為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集。一般地，集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集是由哪些元素組成的？

由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的。

對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合，稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，記作CUA。

思考：如何用描述法表示集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集？如何用veuu圖表示CUA?

思考：集合CU,CUU,A∩CUA,A∪CUA，分別等于什么？

思考：若CUA=B，則CUB等于什么？若AB，則CUA與CUB的關(guān)系如何？

補(bǔ)集例題：

例5：設(shè)全集U={x∈N*|x例6：已知全集U=R，集合A={x||x-1|>2},B={x|2例7：設(shè)全集U={x|x是三角形}，A={x|x是銳角三角形}，B={x|x是鈍角三角形}。

求A∩B,CU(A∪B)。

6.高一數(shù)學(xué)中關(guān)于集合的知識(shí)

集合 1. 研究集合必須注意集合元素的特征即三性（確定，互異，無序）； 已知集合A={x,xy,lgxy}，集合B={0,|x|,y}，且A=B，則x+y= 2. 研究集合，首先必須弄清代表元素，才能理解集合的意義。

已知集合M={y|y=x2 ,x∈R},N={y|y=x2+1,x∈R}，求M∩N；與集合M={(x,y)|y=x2 ,x∈R},N={(x,y)|y=x2+1,x∈R}求M∩N的區(qū)別。 3. 集合 A、B，時(shí)，你是否注意到“極端”情況：或；求集合的子集時(shí)是否忘記. 例如：對(duì)一切恒成立，求a的取植范圍，你討論了a=2的情況了嗎？ 4. 對(duì)于含有n個(gè)元素的有限集合M， 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個(gè)數(shù)依次為 如滿足條件的集合M共有多少個(gè) 5. 解集合問題的基本工具是韋恩圖； 某文藝小組共有10名成員，每人至少會(huì)唱歌和跳舞中的一項(xiàng)，其中7人會(huì)唱歌跳舞5人會(huì)，現(xiàn)從中選出會(huì)唱歌和會(huì)跳舞的各一人，表演一個(gè)唱歌和一個(gè)跳舞節(jié)目，問有多少種不同的選法？ 6. 兩集合之間的關(guān)系。

7. (CUA)∩（ CU B） =CU(A∪B) (CUA)∪（ CUB） = CU(A∩B);;。

7.誰能給我講講有關(guān)集合的知識(shí)

集合是什么，通俗地說它是一些元素組成的集體，是一些確定而又可分的“物”的集體。集合并不指具體的“物”，而是由物的集體所組成的新對(duì)象。20世紀(jì)以來的研究表明，不僅微積分的基礎(chǔ)——實(shí)數(shù)理論奠定在集合論的基礎(chǔ)上，而且各種復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念都可以用“集合”概念定義出來，而各種數(shù)學(xué)理論又都可以“嵌入”集合論之內(nèi)。因此，集合論就成了全部數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，而且有力地促進(jìn)了各個(gè)數(shù)學(xué)分支的發(fā)展。現(xiàn)代數(shù)學(xué)幾乎所有的分支都會(huì)用到集合這個(gè)概念。

集合論最重要的創(chuàng)建者是康托爾（Georg Cantor,1845—1918）。在19世紀(jì)人們很少懷疑微積分的基礎(chǔ)應(yīng)該建立在嚴(yán)密的實(shí)數(shù)理論上，而嚴(yán)密的實(shí)數(shù)理論可以由集合論推出。但是微積分本質(zhì)上是一種“無限數(shù)學(xué)”。那么無限集合的本質(zhì)是什么？它是否具備有限集合所具有的性質(zhì)？

從19世紀(jì)60年代起，法國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾承擔(dān)了這一工作，他清楚地看到以往數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中的問題，都與無窮集合有關(guān)?？低袪柕募险摰慕?，不僅是數(shù)學(xué)發(fā)展史上一座高聳的里程碑，甚至還是人類思維發(fā)展史上的一座里程碑。它標(biāo)志著人類經(jīng)過幾千年的努力，終于基本上弄清了無限的性質(zhì)，找到了制服無限“妖怪”的法寶。蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家柯爾莫戈洛夫說：“康托爾的不朽功績(jī)?cè)谟谙驘o限冒險(xiǎn)邁進(jìn)?！钡聡?guó)數(shù)學(xué)大師伯特贊揚(yáng)康托爾的理論是“數(shù)學(xué)思想最驚人的產(chǎn)物，在純粹理性的范疇中人類活動(dòng)最美的表現(xiàn)之一”。

然而事情并非總是順利的。1900年左右，正當(dāng)康托爾的思想逐漸被人接受，并成功地把集合論應(yīng)用到了許多別的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中去，大家認(rèn)為數(shù)學(xué)的“絕對(duì)嚴(yán)格性”有了保證的時(shí)候，一系列完全沒有想到的邏輯矛盾，在集合論的邊緣被發(fā)現(xiàn)了。開始，人們并不直接稱之為矛盾，而是只把它們看成數(shù)學(xué)中的奇特現(xiàn)象。1903年英國(guó)哲學(xué)家兼數(shù)學(xué)家羅素（Russell, B.A.W,1872—1970）提出了一個(gè)悖論，“一切不包含自身的集合所形成的集合是否包含自身？”答案如果說是，即包含自身，屬于這個(gè)集合，那么它就不包含自身；如果說否，它不包含自身，那么它理應(yīng)是這個(gè)集合的元素，即包含自身。

可能有人看不懂羅素悖論，沒關(guān)系，羅素本人就用通俗的“理發(fā)師悖論”作了比喻；理發(fā)師自稱，他給所有自己不刮胡子的人刮胡子，但不給任何自己刮胡子的人刮胡子。試問理發(fā)師該不該給自己刮胡子？如果他從來不給自己刮胡子，就屬于“自己不刮胡子的人”。根據(jù)他的自稱，他就應(yīng)該給自己刮胡子，但是，一旦他給自己刮胡子，他就成了“自己刮胡子的人”了。還是根據(jù)他的自稱，他就不應(yīng)該給自己刮胡子。所以不管理發(fā)師的胡子由誰來刮，都會(huì)產(chǎn)生矛盾。羅素悖論以其簡(jiǎn)單、明確震動(dòng)了整個(gè)西方數(shù)學(xué)界和邏輯學(xué)界，邏輯學(xué)家費(fèi)雷格收到羅素的信之后，在他剛要出版的《算術(shù)基礎(chǔ)法則》第二卷末尾寫道：“一位科學(xué)家不會(huì)碰到比這更難甚的事情了，即在工作完成之時(shí)，它的基礎(chǔ)垮掉了。當(dāng)這本書等待付印的時(shí)候，羅素先生的一封信把我置于這種境地。”弗雷格對(duì)羅素悖論的迅速反應(yīng)是驚恐地感到：“算術(shù)開始受難。”

數(shù)學(xué)史上第三次危機(jī)來臨了，數(shù)學(xué)王國(guó)的居民們惶惶不安，因?yàn)閿?shù)學(xué)家們一貫追求嚴(yán)密性，一旦發(fā)現(xiàn)他們自稱絕對(duì)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)——集合論并不嚴(yán)密，竟然出現(xiàn)了“悖論”這種自相矛盾的結(jié)果，可以想像，他們是多么震驚。震驚之余，數(shù)學(xué)家們意識(shí)到，應(yīng)當(dāng)建立某種公理系統(tǒng)來對(duì)集合論作出必要的規(guī)定，以排除“羅素悖論”和其他有關(guān)的“悖論”?，F(xiàn)在，各種成功地解決悖論的方案都對(duì)集合的“無限擴(kuò)張”進(jìn)行了限制，因此現(xiàn)在任何一種形式的集合論，實(shí)質(zhì)上都包含一個(gè)“限制大小”的公理。