隨機微分方程的(怎樣快速學好“倒向隨機微分方程”)

1.怎樣快速學好“倒向隨機微分方程”

“學好”的定義是比較模糊的，首先，這里定義一個最低層次的“學好”，即知識層面的了解和基本掌握，能夠看懂核心公理的證明，能夠對基于倒向隨機微分方程理論的非線性期望理論框架有一定的了解，對基于倒向隨機微分方程的計算機程序能夠看懂并簡單應用。

其次，不同數(shù)學水平的人所用的時間也是不同的。假設提問的同學是中國內地一本數(shù)學系本科畢業(yè)，對測度論、常微和偏微方程、隨機過程掌握程度較好，那么達到上述最低層次其實并不十分困難。

我相信，通過類比概率理論的相關知識，一到兩個月（集中學習）的時間，基本可以達到。當然，如果要達到較高層次的“學好”，建議你去山東大學讀彭實戈老師的研究生，畢竟權威的耳提面命最能提高你對于專業(yè)知識的理解。

2.隨機過程怎么學

隨機過程論與其他數(shù)學分支如位勢論、微分方程、力學及復變函數(shù)論等有密切的聯(lián)系，是在自然科學、工程科學及社會科學各領域研究隨機現(xiàn)象的重要工具。

隨機過程論目前已得到廣泛的應用，在諸如天氣預報、統(tǒng)計物理、天體物理、運籌決策、經濟數(shù)學、安全科學、人口理論、可靠性及計算機科學等很多領域都要經常用到隨機過程的理論來建立數(shù)學模型。 一般來說，把一組隨機變量定義為隨機過程。

在研究隨機過程時人們透過表面的偶然性描述出必然的內在規(guī)律并以概率的形式來描述這些規(guī)律，從偶然中悟出必然正是這一學科的魅力所在。 隨機過程整個學科的理論基礎是由柯爾莫哥洛夫和杜布奠定的。

這一學科最早源于對物理學的研究，如吉布斯、玻爾茲曼、龐加萊等人對統(tǒng)計力學的研究，及后來愛因斯坦、維納、萊維等人對布朗運動的開創(chuàng)性工作。1907年前后，馬爾可夫研究了一系列有特定相依性的隨機變量，后人稱之為馬爾可夫鏈。

1923年維納給出布朗運動的數(shù)學定義，直到今日這一過程仍是重要的研究課題。隨機過程一般理論的研究通常認為開始于20世紀30年代。

1931年，柯爾莫哥洛夫發(fā)表了《概率論的解析方法》，1934年A·辛飲發(fā)表了《平穩(wěn)過程的相關理論》，這兩篇著作奠定了馬爾可夫過程與平穩(wěn)過程的理論基礎。1953年，杜布出版了名著《隨機過程論》，系統(tǒng)且嚴格地敘述了隨機過程基本理論。

研究隨機過程的方法多種多樣，主要可以分為兩大類：一類是概率方法，其中用到軌道性質、停時和隨機微分方程等；另一類是分析的方法，其中用到測度論、微分方程、半群理論、函數(shù)堆和希爾伯特空間等。實際研究中常常兩種方法并用。

另外組合方法和代數(shù)方法在某些特殊隨機過程的研究中也有一定作用。研究的主要內容有：多指標隨機過程、無窮質點與馬爾可夫過程、概率與位勢及各種特殊過程的專題討論等。

中國學者在平穩(wěn)過程、馬爾科夫過程、鞅論、極限定理、隨機微分方程等方面做出了較好的工作。 一個實際的隨機過程是任意一個受概率支配的過程，例子有：①看做是受孟德爾遺傳學支配的群體的發(fā)展；②受分子碰撞影響的微觀質點的布朗運動，或者是宏觀空間的星體運動；③賭場中一系列的賭博；④公路一指定點汽車的通行。

在每一種情形，一個隨機系統(tǒng)在演化，這就是說它的狀態(tài)隨著時間而改變，于是，在時間t的狀態(tài)具有偶然性，它是一個隨機變量x(t)，參數(shù)t的集通常是一個區(qū)間（連續(xù)參數(shù)的隨機過程）或一個整數(shù)集合（離散參數(shù)的隨機過程）。然而，有些作者只把隨機過程這個術語用于連續(xù)參數(shù)的情形。

如果系統(tǒng)的狀態(tài)用一個數(shù)來表示，x(t)就是數(shù)值的，在其他情形，x(t)可以是向量值或者更為復雜。在本條的討論中，通常限于數(shù)值的情形。

當狀態(tài)變化時，它的值確定一個時間的函數(shù)——樣本函數(shù)，支配過程的概率規(guī)律確定賦予樣本函數(shù)的各種可能性質的概率。 數(shù)學上的隨機過程是由實際隨機過程概念引起的一種數(shù)學結構。

人們研究這種過程，是因為它是實際隨機過程的數(shù)學模型，或者是因為它的內在數(shù)學意義以及它在概率論領域之外的應用。數(shù)學上的隨機過程可以簡單的定義為一組隨機變量，即指定一參數(shù)集，對于其中每一參數(shù)點t指定一個隨機變量x(t)。

如果回憶起隨機變量自身就是一個函數(shù)，以ω表示隨機變量x(t)的定義域中的一點，并以x(t，ω)表示隨機變量在ω的值，則隨機過程就由剛才定義的點偶（t，ω）的函數(shù)以及概率的分配完全確定。如果固定t，這個二元函數(shù)就定義一個ω的函數(shù)，即以x(t)表示的隨機變量。

如果固定ω，這個二元函數(shù)就定義一個t的函數(shù)，這是過程的樣本函數(shù)。概率 一個隨機過程的概率分配通常是由指定它的隨機變量的聯(lián)合分布來給定的，這些聯(lián)合分布以及 由它們誘導出來的概率可以解釋為樣本函數(shù)的性質的概率。

例如，如果to是一個參數(shù)值，樣本函數(shù)在to取正值的概率是隨機變量x(to)有正值的概率。在這個水平上的基本定理：任意指定的自身相容的聯(lián)合概率分布對應一隨機過程。

隨機過程的概念很廣泛，因而隨機過程的研究幾乎包括概率論的全部。雖然不能給出一個有用而又狹窄的定義，但是概率論工作者在使用隨機過程這個術語時，通常（除非他的興趣在于一般理論的數(shù)學基礎）想到的是其隨機變量具有某種有意義的相互關系的隨機過程，例如，獨立性就是這樣一種關系。

在提出隨機過程這個術語之前，獨立變量序列就是研究了很長時間的一類隨機過程。由于歷史上的原因，一般不把這樣的序列看做是隨機過程（雖然后面將要討論它的連續(xù)參數(shù)的類似物——具有獨立增量的過程，它被看做是隨機過程）。

本條的余下部分是對某些特殊的隨機過程類作一般的論述，由于這些過程類在數(shù)學上和非數(shù)學上的應用中十分重要，所以它們已引起了人們的極大注意。 平穩(wěn)過程 這類隨機過程中的任意有限多外隨機變量的聯(lián)合分布不受參數(shù)平移的影響，即x(t1+h)，…，x(tn+h)的分布與h無關。

微分方程 在當今高等教育知識體系中，隨機過程方面的基礎知識主要在《應用隨機過程》和《隨機過程論》兩門課程中介紹，前者是本科階段課程，通常在大三開設，簡單介紹離散時間Markov鏈、連續(xù)時間Markov鏈、Brown運動等；。