極坐標(biāo)系點(diǎn)(極坐標(biāo)的有關(guān)知識(shí))

1.極坐標(biāo)的有關(guān)知識(shí)

極坐標(biāo)系是一個(gè)二維坐標(biāo)系統(tǒng)。

該坐標(biāo)系統(tǒng)中的點(diǎn)由一個(gè)夾角和一段相對(duì)中心點(diǎn)——極點(diǎn)（相當(dāng)于我們較為熟知的直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)）的距離來(lái)表示。極坐標(biāo)系的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，包括數(shù)學(xué)、物理、工程、航海以及機(jī)器人領(lǐng)域。

在兩點(diǎn)間的關(guān)系用夾角和距離很容易表示時(shí)，極坐標(biāo)系便顯得尤為有用；而在平面直角坐標(biāo)系中，這樣的關(guān)系就只能使用三角函數(shù)來(lái)表示。對(duì)于很多類型的曲線，極坐標(biāo)方程是最簡(jiǎn)單的表達(dá)形式，甚至對(duì)于某些曲線來(lái)說(shuō)，只有極坐標(biāo)方程能夠表示。

歷史 主條目：三角函數(shù)的歷史眾所周知，希臘人最早使用了角度和弧度的概念。天文學(xué)家喜帕恰斯（Hipparchus 190-120 BC）制成了一張求各角所對(duì)弦的弦長(zhǎng)函數(shù)的表格。

并且，曾有人引用了他的極坐標(biāo)系來(lái)確定恒星位置。在螺線方面，阿基米德描述了他的著名的螺線，一個(gè)半徑隨角度變化的方程。

希臘人作出了貢獻(xiàn)，盡管最終并沒(méi)有建立整個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)。關(guān)于是誰(shuí)首次將極坐標(biāo)系應(yīng)用為一個(gè)正式的坐標(biāo)系統(tǒng)，流傳著有多種觀點(diǎn)。

關(guān)于這一問(wèn)題的較詳盡歷史，哈佛大學(xué)教授朱利安·盧瓦爾·科利奇的《極坐標(biāo)系起源》[1][2]作了闡述。格雷瓜·德·圣-萬(wàn)桑特 和博納文圖拉·卡瓦列里，被認(rèn)為在幾乎同時(shí)、并獨(dú)立地各自引入了極坐標(biāo)系這一概念。

圣-萬(wàn)桑特在1625年的私人文稿中進(jìn)行了論述并發(fā)表于1647年，而卡瓦列里在1635進(jìn)行了發(fā)表，而后又于1653年進(jìn)行了更正。卡瓦列里首次利用極坐標(biāo)系來(lái)解決一個(gè)關(guān)于阿基米德螺線內(nèi)的面積問(wèn)題。

布萊士·帕斯卡隨后使用極坐標(biāo)系來(lái)計(jì)算拋物線的長(zhǎng)度。在1671年寫成，1736年出版的《流數(shù)術(shù)和無(wú)窮級(jí)數(shù)》（en:Method of Fluxions）一書中，艾薩克·牛頓第一個(gè)將極坐標(biāo)系應(yīng)用于表示平面上的任何一點(diǎn)。

牛頓在書中驗(yàn)證了極坐標(biāo)和其他九種坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系。在1691年出版的《博學(xué)通報(bào)》（Acta eruditorum）一書中雅各布·伯努利正式使用定點(diǎn)和從定點(diǎn)引出的一條射線，定點(diǎn)稱為極點(diǎn)，射線稱為極軸。

平面內(nèi)任何一點(diǎn)的坐標(biāo)都通過(guò)該點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和與極軸的夾角來(lái)表示。伯努利通過(guò)極坐標(biāo)系對(duì)曲線的曲率半徑進(jìn)行了研究。

實(shí)際上應(yīng)用“極坐標(biāo)”en:Polar coordinate system這個(gè)術(shù)語(yǔ)的是由格雷古廖·豐塔納開始的，并且被18世紀(jì)的意大利數(shù)學(xué)家所使用。該術(shù)語(yǔ)是由喬治·皮科克在1816年翻譯拉克魯瓦克斯的《微分學(xué)與積分學(xué)》（Differential and Integral Calculus）[3][4][5] 一書時(shí)，被翻譯為英語(yǔ)的。

阿勒克西斯·謝羅特和萊昂哈德·歐拉被認(rèn)為是將平面極坐標(biāo)系擴(kuò)展到三維空間的數(shù)學(xué)家。在極坐標(biāo)系中表示點(diǎn)點(diǎn)（3,60°） 和 點(diǎn)（4,210°）點(diǎn)（3,60°） 和 點(diǎn)（4,210°）正如所有的二維坐標(biāo)系，極坐標(biāo)系也有兩個(gè)坐標(biāo)軸：r（半徑坐標(biāo)）和θ（角坐標(biāo)、極角或方位角，有時(shí)也表示為φ或t）。

r坐標(biāo)表示與極點(diǎn)的距離，θ坐標(biāo)表示按逆時(shí)針?lè)较蜃鴺?biāo)距離0°射線（有時(shí)也稱作極軸）的角度，極軸就是在平面直角坐標(biāo)系中的x軸正方向。[6]比如，極坐標(biāo)中的（3,60°）表示了一個(gè)距離極點(diǎn)3個(gè)單位長(zhǎng)度、和極軸夾角為60°的點(diǎn)。

（?3,240°） 和（3,60°）表示了同一點(diǎn)，因?yàn)樵擖c(diǎn)的半徑為在夾角射線反向延長(zhǎng)線上距離極點(diǎn)3個(gè)單位長(zhǎng)度的地方（240° ? 180° = 60°）。極坐標(biāo)系中一個(gè)重要的特性是，平面直角坐標(biāo)中的任意一點(diǎn)，可以在極坐標(biāo)系中有無(wú)限種表達(dá)形式。

通常來(lái)說(shuō)，點(diǎn)（r， θ）可以任意表示為（r， θ ± n*360°）或（?r， θ ± （2n + 1）180°），這里n是任意整數(shù)。[7] 如果某一點(diǎn)的r坐標(biāo)為0，那么無(wú)論θ取何值，該點(diǎn)的位置都落在了極點(diǎn)上。

[編輯] 使用弧度單位極坐標(biāo)系中的角度通常表示為角度或者弧度，使用公式2π rad = 360°.具體使用哪一種方式，基本都是由使用場(chǎng)合而定。航海（en:Navigation）方面經(jīng)常使用角度來(lái)進(jìn)行測(cè)量，而物理學(xué)的某些領(lǐng)域大量使用到了半徑和圓周的比來(lái)作運(yùn)算，所以物理方面更傾向使用弧度。

[8][編輯] 在極坐標(biāo)系與平面直角坐標(biāo)系（笛卡爾坐標(biāo)系）間轉(zhuǎn)換極坐標(biāo)系中的兩個(gè)坐標(biāo) r 和 θ 可以由下面的公式轉(zhuǎn)換為 直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值 x = r \cos \theta \, y = r \sin \theta \，由上述二公式，可得到從直角坐標(biāo)系中x 和 y 兩坐標(biāo)如何計(jì)算出極坐標(biāo)下的坐標(biāo) r = \sqrt{x^2 + y^2} \, \theta = \arctan \frac{y}{x}\qquad x \ne 0 \,[9]在 x = 0的情況下：若 y 為正數(shù) θ = 90° （π/2 radians）； 若 y 為負(fù)， 則 θ = 270° （3π/2 radians）.[編輯] 極坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)系描述的曲線方程稱作極坐標(biāo)方程，通常表示為r為自變量θ的函數(shù)。極坐標(biāo)方程經(jīng)常會(huì)表現(xiàn)出不同的對(duì)稱形式，如果r（?θ） = r（θ），則曲線關(guān)于極點(diǎn)（0°/180°）對(duì)稱，如果r（π?θ） = r（θ），則曲線關(guān)于極點(diǎn)（90°/270°）對(duì)稱，如果r（θ?α） = r（θ），則曲線相當(dāng)于從極點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α°。

[9][編輯] 圓方程為r（θ） = 1的圓。方程為r（θ） = 1的圓。

在極坐標(biāo)系中，圓心在（r0， φ） 半徑為 a 的圓的方程為 r^2 - 2 r r_0 \cos(\theta - \varphi) + r_0^2 = a^2 該方程可簡(jiǎn)化為不同的方法，以符合不同的特定情況，比如方程 r(\theta)=a \，表示一個(gè)以極點(diǎn)為中心半徑為a的圓。[10][編輯] 直線經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的射線由如下方程表示 \theta = \varphi \，，其中φ為射線的傾斜角度，若 m為直角坐標(biāo)系的射線的斜率，則有φ = arctan m。

任何不經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的直線都會(huì)與某條射線垂直。

2.關(guān)于極坐標(biāo)的有關(guān)知識(shí)?以及擺線函數(shù)

θ=0，定直線為x軸。

當(dāng)圓滾動(dòng)j 角以后，圓上定點(diǎn)從 O 點(diǎn)位置到達(dá)P點(diǎn)位置。當(dāng)圓滾動(dòng)一周，有序數(shù)對(duì)（ρ，θ）就稱為P點(diǎn)的極坐標(biāo)，記為P（ρ，θ），時(shí)間是不可或缺的因數(shù)，古時(shí)候是以沙漏水鐘來(lái)計(jì)時(shí).實(shí)際上，經(jīng)過(guò)不少次的失敗，這樣的曲線終於找到了。

再向前滾動(dòng)一周， 動(dòng)圓上定點(diǎn)描畫出第二拱，如果（ρ，θ）是一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo) ，那么（ρ，即 j從O變動(dòng)2π時(shí)，動(dòng)圓上定點(diǎn)描畫出擺線的第一拱。在平面上取定一點(diǎn)O，大批卓越的數(shù)學(xué)家（如伽利略，以及抹煞他人工作的現(xiàn)象.這 樣.相信這樣的玩具許多人都已經(jīng)看過(guò)玩過(guò)。

極坐標(biāo)系到直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化： x=ρcosθ y=ρsinθ 直角坐標(biāo)系到極坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換，則，使擺沿著這樣的曲線擺動(dòng)時(shí)，擺動(dòng)周期完全與擺幅無(wú)關(guān).這群科學(xué)家放棄了物理實(shí)驗(yàn).原來(lái)，伽利略的觀察和實(shí)驗(yàn)還不夠精確.baidu； 如果y&lt.從此以后，伽利略便廢寢忘食的研究起物理和數(shù)學(xué)來(lái)，θ=ang。再取定一個(gè)長(zhǎng)度單位，稱為極點(diǎn)。

從O出發(fā)引一條射線Ox，稱為極軸，B間的擺線，托里拆利，笛卡兒，費(fèi)爾馬， 伍任，瓦里斯，惠更斯，約翰·伯努里，剽竊的指責(zé)，以前的街上.com/baike/pic/item/;0，它的長(zhǎng)度是 一個(gè)不依賴于π的有理數(shù). 2.在弧線下的面積，是旋轉(zhuǎn)圓面積的三倍. 3.圓上描出擺線的那個(gè)點(diǎn)，具有不同的速度——事實(shí)上、雙曲線和拋物線這3種不同的圓錐截線，可以用一個(gè)統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程表示：//imgsrc.baidu.com/baike/pic/item/.jpg 擺線的定義】 擺線是數(shù)學(xué)中眾多的迷人曲線之一.它是這樣定義的.他曾用自行制的滴漏來(lái)重新做單擺的試驗(yàn)，結(jié)果證明了單擺擺動(dòng)的時(shí)間跟擺幅沒(méi)有關(guān)系，只跟單擺擺線的長(zhǎng)度有關(guān).這個(gè)現(xiàn)象使伽利略想到或許可以利用單擺來(lái)制作精確的時(shí)鐘，繼續(xù)滾動(dòng)，可得第三拱，第四拱……，所有這些拱的形狀都是完全相同的 ，一砂一世界.當(dāng)時(shí)，他是以自己的心跳脈搏來(lái)計(jì)算時(shí)間的；0.jpg 在平面內(nèi)由極點(diǎn)！回想以前的中世紀(jì)航海時(shí)代，時(shí)間的掌握是關(guān)乎全船人生命安危的大事.jpg" target="_blank">/baike/pic/item/，鉛筆便會(huì)畫出一條擺線來(lái)，在特定的地方它甚至是靜止的. 4.當(dāng)彈子從一個(gè)擺線形狀的容器的不同點(diǎn)放開時(shí).所以，如果用這種擺來(lái)制作時(shí)鐘，擺的振幅會(huì)因?yàn)槟Σ梁涂諝庾枇Χ鷣?lái)愈小，時(shí)鐘也因此愈走愈快. 過(guò)了不久，荷蘭科學(xué)家決定要做出一個(gè)精確的時(shí)鐘來(lái)；0，極角任意。

若除去上述限制，平面上每一點(diǎn)都有無(wú)數(shù)多組極坐標(biāo)，一般地 ，即判斷x,y值求解，這能 解釋人們?yōu)槭裁磳?duì)擺線懷有強(qiáng)烈的興趣.在這一時(shí)期，伴隨著許多發(fā)現(xiàn)，也出現(xiàn)了眾多有關(guān)發(fā)現(xiàn)權(quán)的爭(zhēng)議，擺的擺幅愈大，擺動(dòng)周期就愈長(zhǎng)，只不過(guò)這種周期的變化是很小的，通常規(guī)定角度取逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎＿@樣，不知可曾想過(guò)，時(shí)鐘里面隱藏了些甚么道理，這里n 是任意整數(shù)關(guān)于極坐標(biāo)的有關(guān)知識(shí)，許多我們視為理所當(dāng)然的事都是先民流血流汗一點(diǎn)一滴累積而成的，它們會(huì)同時(shí)到達(dá)底部 【擺線的出現(xiàn)及爭(zhēng)議】 擺線最早出現(xiàn)可見(jiàn)于公元 1501 年出版的 C·鮑威爾的一本書中.但在 17 世 紀(jì)，當(dāng)各位在看表的時(shí)候； 如果 y=0。

平面上有些曲線，圓周上一個(gè)定點(diǎn)的軌跡。又稱旋輪線。

圓上定點(diǎn)的初始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，許多重要的約會(huì)便會(huì)錯(cuò)過(guò)，當(dāng)這圓沿一條直線滾動(dòng)時(shí)，則. 在時(shí)鐘里面到底隱藏了甚么東西 將這些理論寫出來(lái)可是厚厚的一大本呢：θ=2π-ang； } 擺線（cycloid） 點(diǎn)擊下圖查看動(dòng)畫 如果ρ=0，則角度θ為任意，也有函數(shù)定義θ=0； 如果ρ>0，則： {令ang=acin(y/ρ) 如果 y=0,x&gt，人們將不知時(shí)間，都可作為它的極坐標(biāo).伽利略的單擺是在一段圓弧上擺動(dòng)的，所以我們也叫做圓周擺；ρ稱為P點(diǎn)的極徑，θ稱為P點(diǎn)的極角，滑落所需時(shí)間最短，因此擺線又稱最速降曲線。 擺線的性質(zhì) 到17 世紀(jì)，人們發(fā)現(xiàn)擺線具有如下性質(zhì)，作為一種結(jié)果，擺線被貼上了引發(fā)爭(zhēng)議的“金蘋果”和“幾何的海倫” 的標(biāo)簽. 【擺線的相關(guān)故事】 時(shí)鐘與擺線 時(shí)鐘已變成現(xiàn)代人不可或少的必備工具之一，沒(méi)有時(shí)鐘： 長(zhǎng)度可直接求出：ρ=sqrt(x^2+y^2) 角度需要分段求出，數(shù)學(xué)上把這種曲線叫做“擺線”，“等時(shí)曲線”或“旋輪線” 如果你用硬紙板剪一個(gè)圓，x/view/132011.htm。

3.極坐標(biāo)系的相關(guān)知識(shí) 急

在平面內(nèi)由極點(diǎn)、極軸和極徑組成的坐標(biāo)系。在平面上取定一點(diǎn)O，稱為極點(diǎn)。從O出發(fā)引一條射線Ox，稱為極軸。再取定一個(gè)長(zhǎng)度單位，通常規(guī)定角度取逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎＿@樣，平面上任一點(diǎn)P的位置就可以用線段OP的長(zhǎng)度ρ以及從Ox到OP的角度θ來(lái)確定，有序數(shù)對(duì)（ρ，θ）就稱為P點(diǎn)的極坐標(biāo)，記為P（ρ，θ）；ρ稱為P點(diǎn)的極徑，θ稱為P點(diǎn)的極角。當(dāng)限制ρ≥0,0≤θ極坐標(biāo)系到直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化：

x=ρcosθ

y=ρsinθ

直角坐標(biāo)系到極坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換：

長(zhǎng)度可直接求出：ρ=sqrt(x^2+y^2)

角度需要分段求出，即判斷x,y值求解。

如果ρ=0，則角度θ為任意，也有函數(shù)定義θ=0;

如果ρ>0，則：

{令ang=acin(y/ρ)

如果 y=0,x>0，則，θ=0;

如果 y=0,x 如果 y>0，則，θ=ang;

如果y

4.極坐標(biāo)系的基本概念

當(dāng)限制ρ≥0,0≤θ<2π時(shí)，平面上除極點(diǎn)Ο以外，其他每一點(diǎn)都有唯一的一個(gè)極坐標(biāo)。極點(diǎn)的極徑為零 ，極角任意。若除去上述限制，平面上每一點(diǎn)都有無(wú)數(shù)多組極坐標(biāo)，一般地 ，如果（ρ，θ）是一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo) ，那么（ρ，θ+2nπ），（-ρ，θ+（2n+1）π），都可作為它的極坐標(biāo)，這里n 是任意正整數(shù)。平面上有些曲線，采用極坐標(biāo)時(shí)，方程比較簡(jiǎn)單。例如以原點(diǎn)為中心，r為半徑的圓的極坐標(biāo)方程為ρ=r ，等速螺線的極坐標(biāo)方程為ρ=aθ 。此外，橢圓 、雙曲線和拋物線這3種不同的圓錐曲線，可以用一個(gè)統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程表示。