時間序列分析中方法(對時間序列的分析方法有哪幾種)
1.對時間序列的分析方法有哪幾種
1、時間序列 取自某一個隨機過程，如果此隨機過程的隨機特征不隨時間變化，則我們稱過程是平穩(wěn)的；假如該隨機過程的隨機特征隨時間變化，則稱過程是非平穩(wěn)的。
2、寬平穩(wěn)時間序列的定義：設時間序列 ，對于任意的 ， 和 ，滿足： 則稱 寬平穩(wěn)。 3、Box-Jenkins方法是一種理論較為完善的統(tǒng)計預測方法。
他們的工作為實際工作者提供了對時間序列進行分析、預測，以及對ARMA模型識別、估計和診斷的系統(tǒng)方法。使ARMA模型的建立有了一套完整、正規(guī)、結(jié)構(gòu)化的建模方法，并且具有統(tǒng)計上的完善性和牢固的理論基礎。
4、ARMA模型三種基本形式：自回歸模型（AR:Auto-regressive），移動平均模型（MA:Moving-Average）和混合模型（ARMA:Auto-regressive Moving-Average）。 (1) 自回歸模型AR(p)：如果時間序列 滿足 其中 是獨立同分布的隨機變量序列，且滿足： ， 則稱時間序列 服從p階自回歸模型。
或者記為 。 平穩(wěn)條件：滯后算子多項式 的根均在單位圓外，即 的根大于1。
(2) 移動平均模型MA(q)：如果時間序列 滿足 則稱時間序列 服從q階移動平均模型。或者記為 。
平穩(wěn)條件：任何條件下都平穩(wěn)。 （3） ARMA(p,q)模型：如果時間序列 滿足 則稱時間序列 服從（p,q）階自回歸移動平均模型。
或者記為 。 特殊情況：q=0，模型即為AR(p),p=0， 模型即為MA(q)。
二、時間序列的自相關分析 1、自相關分析法是進行時間序列分析的有效方法，它簡單易行、較為直觀，根據(jù)繪制的自相關分析圖和偏自相關分析圖，我們可以初步地識別平穩(wěn)序列的模型類型和模型階數(shù)。利用自相關分析法可以測定時間序列的隨機性和平穩(wěn)性，以及時間序列的季節(jié)性。
2、自相關函數(shù)的定義：滯后期為k的自協(xié)方差函數(shù)為： ，則 的自相關函數(shù)為： ，其中 。當序列平穩(wěn)時，自相關函數(shù)可寫為： 。
3、樣本自相關函數(shù)為： ，其中 ，它可以說明不同時期的數(shù)據(jù)之間的相關程度，其取值范圍在-1到1之間，值越接近于1，說明時間序列的自相關程度越高。 4、樣本的偏自相關函數(shù)： 其中， 。
5、時間序列的隨機性，是指時間序列各項之間沒有相關關系的特征。使用自相關分析圖判斷時間序列的隨機性，一般給出如下準則： ①若時間序列的自相關函數(shù)基本上都落入置信區(qū)間，則該時間序列具有隨機性； ②若較多自相關函數(shù)落在置信區(qū)間之外，則認為該時間序列不具有隨機性。
6、判斷時間序列是否平穩(wěn)，是一項很重要的工作。運用自相關分析圖判定時間序列平穩(wěn)性的準則是：①若時間序列的自相關函數(shù) 在k>3時都落入置信區(qū)間，且逐漸趨于零，則該時間序列具有平穩(wěn)性；②若時間序列的自相關函數(shù)更多地落在置信區(qū)間外面，則該時間序列就不具有平穩(wěn)性。
7、ARMA模型的自相關分析 AR(p)模型的偏自相關函數(shù) 是以p步截尾的，自相關函數(shù)拖尾。MA(q)模型的自相關函數(shù)具有q步截尾性，偏自相關函數(shù)拖尾。
這兩個性質(zhì)可以分別用來識別自回歸模型和移動平均模型的階數(shù)。ARMA(p,q)模型的自相關函數(shù)和偏相關函數(shù)都是拖尾的。
三、單位根檢驗和協(xié)整檢驗 1、單位根檢驗 ①利用迪基—福勒檢驗（ Dickey-Fuller Test）和菲利普斯—佩榮檢驗（Philips-Perron Test），我們也可以測定時間序列的隨機性，這是在計量經(jīng)濟學中非常重要的兩種單位根檢驗方法，與前者不同的事，后一個檢驗方法主要應用于一階自回歸模型的殘差不是白噪聲，而且存在自相關的情況。 ②隨機游動 如果在一個隨機過程中， 的每一次變化均來自于一個均值為零的獨立同分布，即隨機過程 滿足： ， ，其中 獨立同分布，并且： ， 稱這個隨機過程是隨機游動。
它是一個非平穩(wěn)過程。 ③單位根過程 設隨機過程 滿足： ， ，其中 ， 為一個平穩(wěn)過程并且 ，，。
2、協(xié)整關系 如果兩個或多個非平穩(wěn)的時間序列，其某個現(xiàn)性組合后的序列呈平穩(wěn)性，這樣的時間序列間就被稱為有協(xié)整關系存在。這是一個很重要的概念，我們利用Engle-Granger兩步協(xié)整檢驗法和J 很高興回答樓主的問題 如有錯誤請見諒。
2.對時間序列的分析方法有哪幾種
1、時間序列 取自某一個隨機過程，如果此隨機過程的隨機特征不隨時間變化，則我們稱過程是平穩(wěn)的；假如該隨機過程的隨機特征隨時間變化，則稱過程是非平穩(wěn)的。
2、寬平穩(wěn)時間序列的定義：設時間序列 ，對于任意的 ， 和 ，滿足： 則稱 寬平穩(wěn)。 3、Box-Jenkins方法是一種理論較為完善的統(tǒng)計預測方法。
他們的工作為實際工作者提供了對時間序列進行分析、預測，以及對ARMA模型識別、估計和診斷的系統(tǒng)方法。使ARMA模型的建立有了一套完整、正規(guī)、結(jié)構(gòu)化的建模方法，并且具有統(tǒng)計上的完善性和牢固的理論基礎。
4、ARMA模型三種基本形式：自回歸模型（AR:Auto-regressive），移動平均模型（MA:Moving-Average）和混合模型（ARMA:Auto-regressive Moving-Average）。 (1) 自回歸模型AR(p)：如果時間序列 滿足 其中 是獨立同分布的隨機變量序列，且滿足： ， 則稱時間序列 服從p階自回歸模型。
或者記為 。 平穩(wěn)條件：滯后算子多項式 的根均在單位圓外，即 的根大于1。
(2) 移動平均模型MA(q)：如果時間序列 滿足 則稱時間序列 服從q階移動平均模型?；蛘哂洖?。
平穩(wěn)條件：任何條件下都平穩(wěn)。 （3） ARMA(p,q)模型：如果時間序列 滿足 則稱時間序列 服從（p,q）階自回歸移動平均模型。
或者記為 。 特殊情況：q=0，模型即為AR(p),p=0， 模型即為MA(q)。
二、時間序列的自相關分析 1、自相關分析法是進行時間序列分析的有效方法，它簡單易行、較為直觀，根據(jù)繪制的自相關分析圖和偏自相關分析圖，我們可以初步地識別平穩(wěn)序列的模型類型和模型階數(shù)。利用自相關分析法可以測定時間序列的隨機性和平穩(wěn)性，以及時間序列的季節(jié)性。
2、自相關函數(shù)的定義：滯后期為k的自協(xié)方差函數(shù)為： ，則 的自相關函數(shù)為： ，其中 。當序列平穩(wěn)時，自相關函數(shù)可寫為： 。
3、樣本自相關函數(shù)為： ，其中 ，它可以說明不同時期的數(shù)據(jù)之間的相關程度，其取值范圍在-1到1之間，值越接近于1，說明時間序列的自相關程度越高。 4、樣本的偏自相關函數(shù)： 其中， 。
5、時間序列的隨機性，是指時間序列各項之間沒有相關關系的特征。使用自相關分析圖判斷時間序列的隨機性，一般給出如下準則： ①若時間序列的自相關函數(shù)基本上都落入置信區(qū)間，則該時間序列具有隨機性； ②若較多自相關函數(shù)落在置信區(qū)間之外，則認為該時間序列不具有隨機性。
6、判斷時間序列是否平穩(wěn)，是一項很重要的工作。運用自相關分析圖判定時間序列平穩(wěn)性的準則是：①若時間序列的自相關函數(shù) 在k>3時都落入置信區(qū)間，且逐漸趨于零，則該時間序列具有平穩(wěn)性；②若時間序列的自相關函數(shù)更多地落在置信區(qū)間外面，則該時間序列就不具有平穩(wěn)性。
7、ARMA模型的自相關分析 AR(p)模型的偏自相關函數(shù) 是以p步截尾的，自相關函數(shù)拖尾。MA(q)模型的自相關函數(shù)具有q步截尾性，偏自相關函數(shù)拖尾。
這兩個性質(zhì)可以分別用來識別自回歸模型和移動平均模型的階數(shù)。ARMA(p,q)模型的自相關函數(shù)和偏相關函數(shù)都是拖尾的。
三、單位根檢驗和協(xié)整檢驗 1、單位根檢驗 ①利用迪基—福勒檢驗（ Dickey-Fuller Test）和菲利普斯—佩榮檢驗（Philips-Perron Test），我們也可以測定時間序列的隨機性，這是在計量經(jīng)濟學中非常重要的兩種單位根檢驗方法，與前者不同的事，后一個檢驗方法主要應用于一階自回歸模型的殘差不是白噪聲，而且存在自相關的情況。 ②隨機游動 如果在一個隨機過程中， 的每一次變化均來自于一個均值為零的獨立同分布，即隨機過程 滿足： ， ，其中 獨立同分布，并且： ， 稱這個隨機過程是隨機游動。
它是一個非平穩(wěn)過程。 ③單位根過程 設隨機過程 滿足： ， ，其中 ， 為一個平穩(wěn)過程并且 ，，。
2、協(xié)整關系 如果兩個或多個非平穩(wěn)的時間序列，其某個現(xiàn)性組合后的序列呈平穩(wěn)性，這樣的時間序列間就被稱為有協(xié)整關系存在。這是一個很重要的概念，我們利用Engle-Granger兩步協(xié)整檢驗法和J 很高興回答樓主的問題 如有錯誤請見諒。
3.時間序列分析的基本步驟
時間序列建模基本步驟是：
①用觀測、調(diào)查、統(tǒng)計、抽樣等方法取得被觀測系統(tǒng)時間序列動態(tài)數(shù)據(jù)。
②根據(jù)動態(tài)數(shù)據(jù)作相關圖，進行相zhidao關分析，求自相關函數(shù)。相關圖能顯示出變化的趨勢和周期，并能發(fā)現(xiàn)跳點和拐點。跳點是指與其他數(shù)據(jù)不一致的觀測值。如果跳點是正確的觀測值，在建模時應考慮進去，如果是反常現(xiàn)象，則應把跳點調(diào)整到期望值。拐點則是指時間序列從上升趨勢突然變?yōu)橄陆第厔莸狞c。如果存在拐點，則在建模時必須用不同的模型去分段擬合該時間序列，例如采用門限回歸模型。
③辨識合適的隨機模型，進行曲線擬合，即用通用隨機模型去擬合時間序列的觀測數(shù)據(jù)。對于短的或簡單的時專間序列，可用趨勢模型屬和季節(jié)模型加上誤差來進行擬合。對于平穩(wěn)時間序列，可用通用ARMA模型（自回歸滑動平均模型）及其特殊情況的自回歸模型、滑動平均模型或組合-ARMA模型等來進行擬合。當觀測值多于50個時一般都采用ARMA模型。對于非平穩(wěn)時間序列則要先將觀測到的時間序列進行差分運算，化為平穩(wěn)時間序列，再用適當模型去擬合這個差分序列。
4.時間序列的分析方法
（一）指標分析法
通過時間序列的分析指標來揭示現(xiàn)象的發(fā)展變化狀況和發(fā)展變化程度。
（二）構(gòu)成因素分析法
通過對影響時間序列的構(gòu)成因素進行分解分析，揭示現(xiàn)象隨時間變化而演變的規(guī)律。
5.時間序列數(shù)據(jù)挖掘的方法有哪些
利用數(shù)據(jù)挖掘進行數(shù)據(jù)分析常用的方法主要有分類、回歸分析、聚類、關聯(lián)規(guī)則、特征、變化和偏差分析、Web頁挖掘等， 它們分別從不同的角度對數(shù)據(jù)進行挖掘。
1、分類 分類是找出數(shù)據(jù)庫中一組數(shù)據(jù)對象的共同特點并按照分類模式將其劃分為不同的類，其目的是通過分類模型，將數(shù)據(jù)庫中的數(shù)據(jù)項映射到某個給定的類別。它可以應用到客戶的分類、客戶的屬性和特征分析、客戶滿意度分析、客戶的購買趨勢預測等，如一個汽車零售商將客戶按照對汽車的喜好劃分成不同的類，這樣營銷人員就可以將新型汽車的廣告手冊直接郵寄到有這種喜好的客戶手中，從而大大增加了商業(yè)機會。
2、回歸分析 回歸分析方法反映的是事務數(shù)據(jù)庫中屬性值在時間上的特征，產(chǎn)生一個將數(shù)據(jù)項映射到一個實值預測變量的函數(shù)，發(fā)現(xiàn)變量或?qū)傩蚤g的依賴關系，其主要研究問題包括數(shù)據(jù)序列的趨勢特征、數(shù)據(jù)序列的預測以及數(shù)據(jù)間的相關關系等。它可以應用到市場營銷的各個方面，如客戶尋求、保持和預防客戶流失活動、產(chǎn)品生命周期分析、銷售趨勢預測及有針對性的促銷活動等。
3、聚類 聚類分析是把一組數(shù)據(jù)按照相似性和差異性分為幾個類別，其目的是使得屬于同一類別的數(shù)據(jù)間的相似性盡可能大，不同類別中的數(shù)據(jù)間的相似性盡可能小。它可以應用到客戶群體的分類、客戶背景分析、客戶購買趨勢預測、市場的細分等。
4、關聯(lián)規(guī)則 關聯(lián)規(guī)則是描述數(shù)據(jù)庫中數(shù)據(jù)項之間所存在的關系的規(guī)則，即根據(jù)一個事務中某些項的出現(xiàn)可導出另一些項在同一事務中也出現(xiàn)，即隱藏在數(shù)據(jù)間的關聯(lián)或相互關系。在客戶關系管理中，通過對企業(yè)的客戶數(shù)據(jù)庫里的大量數(shù)據(jù)進行挖掘，可以從大量的記錄中發(fā)現(xiàn)有趣的關聯(lián)關系，找出影響市場營銷效果的關鍵因素，為產(chǎn)品定位、定價與定制客戶群，客戶尋求、細分與保持，市場營銷與推銷，營銷風險評估和詐騙預測等決策支持提供參考依據(jù)。
5、特征 特征分析是從數(shù)據(jù)庫中的一組數(shù)據(jù)中提取出關于這些數(shù)據(jù)的特征式，這些特征式表達了該數(shù)據(jù)集的總體特征。如營銷人員通過對客戶流失因素的特征提取，可以得到導致客戶流失的一系列原因和主要特征，利用這些特征可以有效地預防客戶的流失。
6、變化和偏差分析 偏差包括很大一類潛在有趣的知識，如分類中的反常實例，模式的例外，觀察結(jié)果對期望的偏差等，其目的是尋找觀察結(jié)果與參照量之間有意義的差別。在企業(yè)危機管理及其預警中，管理者更感興趣的是那些意外規(guī)則。
意外規(guī)則的挖掘可以應用到各種異常信息的發(fā)現(xiàn)、分析、識別、評價和預警等方面。 7、Web頁挖掘 隨著Internet的迅速發(fā)展及Web 的全球普及， 使得Web上的信息量無比豐富，通過對Web的挖掘，可以利用Web 的海量數(shù)據(jù)進行分析，收集政治、經(jīng)濟、政策、科技、金融、各種市場、競爭對手、供求信息、客戶等有關的信息，集中精力分析和處理那些對企業(yè)有重大或潛在重大影響的外部環(huán)境信息和內(nèi)部經(jīng)營信息，并根據(jù)分析結(jié)果找出企業(yè)管理過程中出現(xiàn)的各種問題和可能引起危機的先兆，對這些信息進行分析和處理，以便識別、分析、評價和管理危機。
6.時間序列預測法的步驟有哪些
時間序列預測法的有以下幾個步驟。
第一步，收集歷史資料，加以整理，編成時間序列，并根據(jù)時間序列繪成統(tǒng)計圖。時間序列分析通常是把各種可能發(fā)生作用的因素進行分類，傳統(tǒng)的分類方法是按各種因素的特點或影響效果進行分類：
①長期趨勢；
②季節(jié)變動；
③循環(huán)變動；
④不規(guī)則變動。
第二步，分析時間序列。
時間序列中的每一時期的數(shù)值都是由許許多多不同的因素同時發(fā)生作用后的綜合結(jié)果。
第三步，求時間序列的長期趨勢（T）、季節(jié)變動（S）和不規(guī)則變動（I）的值，并選定近似的數(shù)學模式來代表它們。對于數(shù)學模式中的諸未知參數(shù)，使用合適的技術方法求出其值。
第四步，利用時間序列資料求出長期趨勢、季節(jié)變動和不規(guī)則變動的數(shù)學模型后，就可以利用它來預測未來的長期趨勢值T和季節(jié)變動值S，在可能的情況下預測不規(guī)則變動值I。然后用以下模式計算出未來的時間序列的預測值Y。
加法模式：T+S+I=Y乘法模式：T乘以S乘以I=Y
如果不規(guī)則變動的預測值難以求得，就只求長期趨勢和季節(jié)變動的預測值，以兩者相乘之積或相加之和為時間序列的預測值。如果經(jīng)濟現(xiàn)象本身沒有季節(jié)變動或不需預測分季分月的資料，則長期趨勢的預測值就是時間序列的預測值，即T=Y。但要注意這個預測值只反映現(xiàn)象未來的發(fā)展趨勢，即使很準確的趨勢線在按時間順序的觀察方面所起的作用本質(zhì)上也只是一個平均數(shù)的作用，實際值將圍繞著它上下波動。
7.時間序列分析法是什么
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內(nèi)容來自用戶：黃劍
對于預測，有定性和定量兩類方法，定性的方法主要是作一些趨勢性或轉(zhuǎn)折點的判定。常用的方法有專家座談會法，德爾菲法等。常用的定量預測方法有兩種，一種是回歸分析法，另一種常用方法就是時間序列分析法。這一章主要介紹有關時間序列分析法的有關內(nèi)容。
所謂時間序列就是一組按照一定的時間間隔排列的一組數(shù)據(jù)。這一組數(shù)據(jù)可以表示各種各樣的含義的數(shù)值，如對某種產(chǎn)品的需求量、產(chǎn)量，銷售額，等。其時間間隔可以是任意的時間單位，如小時、日、周、月等。通常，對于這些量的預測，由于很難確定它與其他因變量的關系，或收集因變量的數(shù)據(jù)非常困難，這時我們就不能采用回歸分析方法進行預測，或者說，有時對預測的精度要求不是特別高，這時我們都可以使用時間序列分析方法來進行預測。
當然，時間序列分析法并非只是一種簡單的預測分析方法，其實，基本的時間序列分析法確實很簡單，但是也有一些非常復雜的時間序列分析方法。
采用時間序列分析進行預測時需要用到一系列的模型，這種模型統(tǒng)稱為時間序列模型。在使用這種時間序列模型時，總是假定某一種數(shù)據(jù)變化模式或某一種組合模式總是會重復發(fā)生的。因此可以首先識別出這種模式，然后采用外推的方式就可以進行預測了。
1S季節(jié)系數(shù)實際上就是：對于1.MA=T*C自相關的含義類似于相關關系，自相關系數(shù)類似于相關系數(shù)，只不過在自相關關系中，它描述的不是兩個不同的量之間的關系，而是描述的同一個變量在不同時間之間的相關關系
8.時間序列預測方法有哪些分類,分別適合使用的情況是
時間序列預測方法根據(jù)對資料分析方法的不同，可分為：簡單序時平均數(shù)法、加權(quán)序時平均數(shù)法、移動平均法、加權(quán)移動平均法、趨勢預測法、指數(shù)平滑法、季節(jié)性趨勢預測法、市場壽命周期預測法等。
1、簡單序時平均數(shù)法只能適用于事物變化不大的趨勢預測。如果事物呈現(xiàn)某種上升或下降的趨勢，就不宜采用此法。
2、加權(quán)序時平均數(shù)法就是把各個時期的歷史數(shù)據(jù)按近期和遠期影響程度進行加權(quán)，求出平均值，作為下期預測值。
3、簡單移動平均法適用于近期期預測。當產(chǎn)品需求既不快速增長也不快速下降，且不存在季節(jié)性因素時，移動平均法能有效地消除預測中的隨機波動。
4、加權(quán)移動平均法即將簡單移動平均數(shù)進行加權(quán)計算。在確定權(quán)數(shù)時，近期觀察值的權(quán)數(shù)應該大些，遠期觀察值的權(quán)數(shù)應該小些。
5、指數(shù)平滑法即根用于中短期經(jīng)濟發(fā)展趨勢預測，所有預測方法中，指數(shù)平滑是用得最多的一種。
6、季節(jié)趨勢預測法根據(jù)經(jīng)濟事物每年重復出現(xiàn)的周期性季節(jié)變動指數(shù)，預測其季節(jié)性變動趨勢。
7、市場壽命周期預測法，適用于對耐用消費品的預測。這種方法簡單、直觀、易于掌握。
擴展資料：
時間序列預測法的特征
1、時間序列分析法是根據(jù)過去的變化趨勢預測未來的發(fā)展，前提是假定事物的過去延續(xù)到未來。運用過去的歷史數(shù)據(jù)，通過統(tǒng)計分析，進一步推測未來的發(fā)展趨勢。不會發(fā)生突然的跳躍變化，是以相對小的步伐前進；過去和當前的現(xiàn)象，可能表明現(xiàn)在和將來活動的發(fā)展變化趨向。
2.時間序列數(shù)據(jù)變動存在著規(guī)律性與不規(guī)律性
時間序列中的每個觀察值大小，是影響變化的各種不同因素在同一時刻發(fā)生作用的綜合結(jié)果。從這些影響因素發(fā)生作用的大小和方向變化的時間特性來看，這些因素造成的時間序列數(shù)據(jù)的變動分為四種類型：趨勢性、周期性、隨機性、綜合性。
參考資料來源：百度百科-時間序列預測法
參考資料來源：百度百科-指數(shù)平滑法
參考資料來源：百度百科-簡單移動平均法
9.時間序列分析法的具體算法
用隨機過程理論和數(shù)理統(tǒng)計學方法，研究隨機數(shù)據(jù)序列所遵從的統(tǒng)計規(guī)律，以用于解決實際問題。由于在多數(shù)問題中，隨機數(shù)據(jù)是依時間先后排成序列的，故稱為時間序列。它包括一般統(tǒng)計分析（如自相關分析、譜分析等），統(tǒng)計模型的建立與推斷，以及關于隨機序列的最優(yōu)預測、控制和濾波等內(nèi)容。經(jīng)典的統(tǒng)計分析都假定數(shù)據(jù)序列具有獨立性，而時間序列分析則著重研究數(shù)據(jù)序列的相互依賴關系。后者實際上是對離散指標的隨機過程的統(tǒng)計分析，所以又可看作是隨機過程統(tǒng)計的一個組成部分。例如，用x(t)表示某地區(qū)第t個月的降雨量，{x(t),t=1,2，…}是一時間序列。對t=1,2，…，T，記錄到逐月的降雨量數(shù)據(jù)x(1),x(2)，…，x(T)，稱為長度為T的樣本序列。依此即可使用時間序列分析方法，對未來各月的雨量x(T+l)(l=1,2，…)進行預報。時間序列分析在第二次世界大戰(zhàn)前就已應用于經(jīng)濟預測。二次大戰(zhàn)中和戰(zhàn)后，在軍事科學、空間科學和工業(yè)自動化等部門的應用更加廣泛。
就數(shù)學方法而言，平穩(wěn)隨機序列（見平穩(wěn)過程）的統(tǒng)計分析，在理論上的發(fā)展比較成熟，從而構(gòu)成時間序列分析的基礎。 一個時間序列可看成各種周期擾動的疊加，頻域分析就是確定各周期的振動能量的分配，這種分配稱為“譜”，或“功率譜”。因此頻域分析又稱譜分析。譜分析中的一個重要統(tǒng)計量是 ，稱為序列的周期圖。當序列含有確定性的周期分量時，通過I（ω）的極大值點尋找這些分量的周期，是譜分析的重要內(nèi)容之一。在按月記錄的降雨量序列中，序列x(t)就可視為含有以12為周期的確定分量，所以序列x(t)可以表示為 ，它的周期圖I（ω）處有明顯的極大值。
當平穩(wěn)序列的譜分布函數(shù)F（λ）具有譜密度?（λ）（即功率譜）時，可用（2π）-1I（λ）去估計?（λ），它是?（λ）的漸近無偏估計。如欲求?（λ）的相合估計（見點估計），可用I（ω）的適當?shù)钠交等ス烙?（λ），常用的方法為譜窗估計即取?（λ）的估計弮（λ）為 ，式中wt（ω）稱為譜窗函數(shù)。譜窗估計是實際應用中的重要方法之一。譜分布F（λ）本身的一種相合估計可由I（ω）的積分直接獲得，即 。 研究以上各種估計量的統(tǒng)計性質(zhì)，改進估計方法，是譜分析的重要內(nèi)容。 如果時間序列x(t)可表示為確定性分量φ（t）與隨機性分量ω（t）之和，根據(jù)樣本值x(1),x(2)，…，x(T)來估計φ（t）及分析ω（t）的統(tǒng)計規(guī)律，屬于時間序列分析中的回歸分析問題。它與經(jīng)典回歸分析不同的地方是，ω（t）一般不是獨立同分布的，因而在此必須涉及較多的隨機過程知識。當φ（t）為有限個已知函數(shù)的未知線性組合時，即 ，式中ω（t）是均值為零的平穩(wěn)序列，α1，α2，…，αs是未知參數(shù)，φ1(t)，φ2(t)，…，φs(t)是已知的函數(shù)，上式稱為線性回歸模型，它的統(tǒng)計分析已被研究得比較深入。前面敘述的降雨量一例，便可用此類模型描述?；貧w分析的內(nèi)容包括：當ω（t）的統(tǒng)計規(guī)律已知時，對參數(shù)α1，α2，…，αs進行估計，預測x(T+l)之值；當ω（t）的統(tǒng)計規(guī)律未知時，既要估計上述參數(shù)，又要對ω（t）進行統(tǒng)計分析，如譜分析、模型分析等。在這些內(nèi)容中，一個重要的課題是：在相當廣泛的情況下，證明 α1，α2，…，αs的最小二乘估計，與其線性最小方差無偏估計一樣，具有相合性和漸近正態(tài)分布性質(zhì)。最小二乘估計姙j(1≤j≤s)不涉及ω（t）的統(tǒng)計相關結(jié)構(gòu)，是由數(shù)據(jù)x(1),x(2)，…，x(T)直接算出，由此還可得（t）進行時間序列分析中的各種統(tǒng)計分析，以代替對ω（t）的分析。在理論上也已證明，在適當?shù)臈l件下，這樣的替代具有滿意的漸近性質(zhì)。由于ω（t）的真值不能直接量測，這些理論結(jié)果顯然有重要的實際意義。這方面的研究仍在不斷發(fā)展。
時間序列分析中的最優(yōu)預測、控制與濾波等方面的內(nèi)容見平穩(wěn)過程條。多維時間序列分析的研究有所進展，并應用到工業(yè)生產(chǎn)自動化及經(jīng)濟分析中。此外非線性模型統(tǒng)計分析及非參數(shù)統(tǒng)計分析等方面也逐漸引起人們的注意。
10.時間序列分析的基本步驟
時間序列建模基本步驟是：①用觀測、調(diào)查、統(tǒng)計、抽樣等方法取得被觀測系統(tǒng)時間序列動態(tài)數(shù)據(jù)。
②根據(jù)動態(tài)數(shù)據(jù)作相關圖，進行相關分析，求自相關函數(shù)。相關圖能顯示出變化的趨勢和周期，并能發(fā)現(xiàn)跳點和拐點。
跳點是指與其他數(shù)據(jù)不一致的觀測值。如果跳點是正確的觀測值，在建模時應考慮進去，如果是反常現(xiàn)象，則應把跳點調(diào)整到期望值。
拐點則是指時間序列從上升趨勢突然變?yōu)橄陆第厔莸狞c。如果存在拐點，則在建模時必須用不同的模型去分段擬合該時間序列，例如采用門限回歸模型。
③辨識合適的隨機模型，進行曲線擬合，即用通用隨機模型去擬合時間序列的觀測數(shù)據(jù)。對于短的或簡單的時間序列，可用趨勢模型和季節(jié)模型加上誤差來進行擬合。
對于平穩(wěn)時間序列，可用通用ARMA模型（自回歸滑動平均模型）及其特殊情況的自回歸模型、滑動平均模型或組合-ARMA模型等來進行擬合。當觀測值多于50個時一般都采用ARMA模型。
對于非平穩(wěn)時間序列則要先將觀測到的時間序列進行差分運算，化為平穩(wěn)時間序列，再用適當模型去擬合這個差分序列。
