數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)
初學(xué)銳角三角函數(shù)時我們最好借助畫直角三角形來理解。
1，Sin α 指的是構(gòu)成直角的兩條邊中的某一條與斜邊夠成的角的正弦直 算法是 構(gòu)成直角的兩條邊中的某一條與斜邊夠成的角的對邊比上斜邊的直。（α 指的是構(gòu)成的角度）
2，Cos α 指的是構(gòu)成直角的兩條邊中的某一條與斜邊夠成的角的余弦直 算法是 構(gòu)成該角的直角邊與斜邊的比值（α 指的是構(gòu)成的角度）
3，tan α 是指兩條直角邊的比值 算法是所求角的正切直的角的對邊比上另一條直角邊。（α 指的是構(gòu)成的角度）
細講解三角函數(shù)《銳角》三角形
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直接講：1、銳角三角函數(shù)定義
銳角角A的正弦,余弦和正切,余切都叫做角A的銳角三角函數(shù)
正弦等于對邊比斜邊
正切等于對邊比鄰邊
2、互余角的三角函數(shù)間的關(guān)系。
sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,
tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.
3、同角三角函數(shù)間的關(guān)系
平方關(guān)系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
·積的關(guān)系：
sinα=tanα·cosα
cosα=cotα·sinα
tanα=sinα·secα
cotα=cosα·cscα
secα=tanα·cscα
cscα=secα·cotα
·倒數(shù)關(guān)系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊,
余弦等于角A的鄰邊比斜邊
正切等于對邊比鄰邊,
4、三角函數(shù)值
（1）特殊角三角函數(shù)值
（2）0°～90°的任意角的三角函數(shù)值，查三角函數(shù)表。
（3）銳角三角函數(shù)值的變化情況
（i）銳角三角函數(shù)值都是正值
（ii）當角度在0°～90°間變化時，
正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?
余弦值隨著角度的增大（或減小）而減?。ɑ蛟龃螅?
正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?
余切值隨著角度的增大（或減小）而減?。ɑ蛟龃螅?
（iii）當角度在0°≤α≤90°間變化時，
0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,
當角度在0°<α<90°間變化時，
tanα>0, cotα>0.
“銳角三角函數(shù)”屬于三角學(xué)，是《數(shù)學(xué)課程標準》中“空間與圖形”領(lǐng)域的重要內(nèi)容。從《數(shù)學(xué)課程標準》看，中學(xué)數(shù)學(xué)把三角學(xué)內(nèi)容分成兩個部分，第一部分放在義務(wù)教育第三學(xué)段，第二部分放在高中階段。在義務(wù)教育第三學(xué)段，主要研究銳角三角函數(shù)和解直角三角形的內(nèi)容，本套教科書安排了一章的內(nèi)容，就是本章“銳角三角函數(shù)”。在高中階段的三角內(nèi)容是三角學(xué)的主體部分，包括解斜三角形、三角函數(shù)、反三角函數(shù)和簡單的三角方程。無論是從內(nèi)容上看，還是從思考問題的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基礎(chǔ)，掌握銳角三角函數(shù)的概念和解直角三角形的方法，是學(xué)習(xí)三角函數(shù)和解斜三角形的重要準備。
本章包括銳角三角函數(shù)的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念），以及利用銳角三角函數(shù)解直角三角形等內(nèi)容。銳角三角函數(shù)為解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在實際當中有著廣泛的應(yīng)用，這也為銳角三角函數(shù)提供了與實際聯(lián)系的機會。研究銳角三角函數(shù)的直接基礎(chǔ)是相似三角形的一些結(jié)論，解直角三角形主要依賴銳角三角函數(shù)和勾股定理等內(nèi)容，因此相似三角形和勾股定理等是學(xué)習(xí)本章的直接基礎(chǔ)。本章重點是銳角三角函數(shù)的概念和直角三角形的解法。銳角三角函數(shù)的概念既是本章的難點，也是學(xué)習(xí)本章的關(guān)鍵。難點在于，銳角三角函數(shù)的概念反映了角度與數(shù)值之間對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，這種角與數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，以及用含有幾個字母的符號sinA、cosA、tanA表示函數(shù)等，學(xué)生過去沒有接觸過，因此對學(xué)生來講有一定的難度。至于關(guān)鍵，因為只有正確掌握了銳角三角函數(shù)的概念，才能真正理解直角三角形中邊、角之間的關(guān)系，從而才能利用這些關(guān)系解直角三角形。
本章內(nèi)容與已學(xué) “相似三角形”“勾股定理”等內(nèi)容聯(lián)系緊密，并為高中數(shù)學(xué)中三角函數(shù)等知識的學(xué)習(xí)作好準備。
一、教科書內(nèi)容與課程學(xué)習(xí)目標
（一）本章知識結(jié)構(gòu)框圖
本章知識的展開順序
（二）教科書內(nèi)容
本章內(nèi)容分為兩節(jié)，第一節(jié)主要學(xué)習(xí)正弦、余弦和正切等銳角三角函數(shù)的概念，第二節(jié)主要研究直角三角形中的邊角關(guān)系和解直角三角形的內(nèi)容。第一節(jié)內(nèi)容是第二節(jié)的基礎(chǔ)，第二節(jié)是第一節(jié)的應(yīng)用，并對第一節(jié)的學(xué)習(xí)有鞏固和提高的作用。
在第28.1節(jié) “銳角三角函數(shù)”中，教科書先研究了正弦函數(shù)，然后在正弦函數(shù)的基礎(chǔ)上給出余弦函數(shù)和正切函數(shù)的概念。對于正弦函數(shù)，教科書首先設(shè)置了一個實際問題，把這個實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，就是在直角三角形中，已知一個銳角和這個銳角的對邊求斜邊的問題，由于這個銳角是一個特殊的角，因此可以利用“在直角三角形中，角所對的邊是斜邊的一半” 這個結(jié)論來解決這個問題，接下去教科書又提出問題，如果角所對的邊的長度發(fā)生改變，那么斜邊的長變?yōu)槎嗌?？解決這個的問題仍然需要利用上述結(jié)論，這樣就能夠使學(xué)生體會到“無論直角三角形的大小如何，角所對的邊與斜邊的比總是一個常數(shù)”，這里體現(xiàn)了函數(shù)的對應(yīng)的思想，即的角對應(yīng)數(shù)值。接下去，教科書又設(shè)置一個“思考”欄目，讓學(xué)生進一步探討在直角三角形中，的銳角所對的邊與斜邊的比有什么特點，利用勾股定理就可以發(fā)現(xiàn)這個比值也是一個常數(shù)，這樣就使學(xué)生認識到“無論直角三角形的大小如何，角所對的邊與斜邊的比總是一個常數(shù)”，通過探討上面這兩個特殊的直角三角形，能夠使學(xué)生感受到在直角三角形中，如果一個銳角的度數(shù)分別是和，那么它們所對的邊與斜邊的比分別都是常數(shù)，這里體現(xiàn)了函數(shù)的思想，這也為引出正弦函數(shù)的概念作好鋪墊。有了上面這樣的感受，會使學(xué)生自然地想到，在直角三角形中，一個銳角取其他一定的度數(shù)時，它的對邊與斜邊的比是否也是常數(shù)的問題。這樣教科書就進入對一般情況的討論。對于這個問題，教科書設(shè)置了一個“探究”欄目，讓學(xué)生探究對于兩個大小不等的直角三角形，如果有一個銳角對應(yīng)相等，那么這兩個相等的銳角所對的直角邊與斜邊的比是否相等，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例這個結(jié)論就可以得到“在直角三角形中，當銳角的度數(shù)一定時，不管三角形的大小如何，這個角的對邊與斜邊的比是一個固定值”，由此引出正弦函數(shù)的概念，這樣引出正弦函數(shù)的概念，能夠使學(xué)生充分感受到函數(shù)的思想，即在直角三角形中，一個銳角的每一個確定的值，sinA都有唯一確定的值與它對應(yīng)。在引出正弦函數(shù)的概念之后，教科書在一個“探究”欄目中，類比著正弦的概念，從邊與邊的比的角度提出一個開放性問題：在直角三角形中，當一個銳角確定時，這個角的對邊與斜邊的比就隨之確定，此時，其他邊之間的比是否也確定了呢？提出這個問題的目的是要引出對余弦函數(shù)和正切函數(shù)的討論。由于教科書比較詳細地討論了正弦函數(shù)的概念，因此對余弦函數(shù)和正切函數(shù)概念的討論采用了直接給出的方式，具體的討論由學(xué)生類比著正弦函數(shù)自己完成。在余弦函數(shù)和正切函數(shù)的概念給出之后，教科書在邊注中分析了銳角三角函數(shù)的角與數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系，突出了函數(shù)的思想。一些特殊角的三角函數(shù)值是經(jīng)常用到的，教科書借助于學(xué)生熟悉的兩種三角尺研究了角的正弦、余弦和正切值，并以例題的形式介紹了已知銳角三角函數(shù)值求銳角的問題，當然這時所要求出的角都是、和的特殊角。教科書把求特殊角的三角函數(shù)值和已知特殊角的三角函數(shù)值求角這兩個相反方向的問題安排在一起，目的是體現(xiàn)銳角三角函數(shù)中角與函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系。本節(jié)最后，教科書介紹了如何使用計算器求非特殊角的三角函數(shù)值以及如何根據(jù)三角函數(shù)值求對應(yīng)的角等內(nèi)容。由于不同的計算器操作步驟有所不同，教科書只就常見的情況進行介紹。
第28.2節(jié)“解直角三角形”是在第一節(jié)“銳角三角函數(shù)”的基礎(chǔ)上研究解直角三角形的方法及其在實際中的應(yīng)用。本節(jié)開始，教科書設(shè)計了一個實際背景，其中包括兩個實際問題，這兩個實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題分別是已知直角三角形的一個銳角和斜邊，求這個角的對邊和已知直角三角形的一條直角邊和斜邊，求這兩個邊的夾角的問題，解決這兩個問題需要用到第28.1節(jié)學(xué)習(xí)的有關(guān)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的內(nèi)容。這兩個問題實際上屬于求解直角三角形的問題，設(shè)計這個實際問題的目的是要引出解直角三角形的內(nèi)容。因此，教科書借助于這個實際問題背景，設(shè)計了一個“探究”欄目，要求學(xué)生探討在直角三角形中，根據(jù)兩個已知條件（其中至少有一個是邊）求解直角三角形，最后教科書歸納給出求解直角三角形常用的反映三邊關(guān)系的勾股定理，反映銳角之間關(guān)系的互余關(guān)系，以及反映邊角之間關(guān)系的銳角三角函數(shù)關(guān)系。這樣，教科書就結(jié)合實際問題背景，探討了解直角三角形的內(nèi)容。接下去，教科書又結(jié)合四個實際問題介紹了解直角三角形的理論在實際中的應(yīng)用。第一個實際問題是章前引言中提到的確定比薩斜塔傾斜程度的問題，這個問題實際上是已知直角三角形的斜邊和一個銳角的對邊，求這個銳角的問題，這要用到正弦函數(shù)；第二個問題是確定神舟5號變軌后，所能看到地面的最長距離，這個問題實際上是已知直角三角形的斜邊和一個銳角的鄰邊，求這個銳角的問題，這要用到余弦函數(shù)；第三個問題是確定樓房高度的問題，這個問題抽象成數(shù)學(xué)問題是已知直角三角形的一個銳角和它的鄰邊，求這個角的對邊，這要用到正切函數(shù)；第四個實際問題是在航海中確定輪船距離燈塔的距離，解決這個問題需要反復(fù)利用正弦函數(shù)。這樣教科書就通過四個實際問題體現(xiàn)了正弦、余弦和正切這幾個銳角三角函數(shù)在解決實際問題中的作用。本節(jié)最后，教科書采用將測量大壩的高度與測量山的高度相對比的方式，直觀形象地介紹了“化整為零，積零為整”“化曲為直，以直代曲”的微積分的基本思想。
（三）課程學(xué)習(xí)目標
對于本章內(nèi)容，教學(xué)中應(yīng)達到以下幾方面要求：
1. 了解銳角三角函數(shù)的概念，能夠正確應(yīng)用sinA 、cos A、tanA表示直角三角形中兩邊的比；記憶的正弦、余弦和正切的函數(shù)值，并會由一個特殊角的三角函數(shù)值說出這個角；
2. 能夠正確地使用計算器，由已知銳角求出它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求出相應(yīng)的銳角；
3. 理解直角三角形中邊與邊的關(guān)系，角與角的關(guān)系和邊與角的關(guān)系，會運用勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余、以及銳角三角函數(shù)解直角三角形，并會用解直角三角形的有關(guān)知識解決簡單的實際問題；
4. 通過銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，進一步認識函數(shù)，體會函數(shù)的變化與對應(yīng)的思想，通過解直角三角的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)在解決實際問題中的作用，并結(jié)合實際問題對微積分的思想有所感受。
二、本章編寫特點
（一）加強與實際的聯(lián)系
本章主要包括銳角三角函數(shù)和解直角三角形兩大塊內(nèi)容，這兩大塊內(nèi)容是緊密聯(lián)系的。銳角三角函數(shù)是解直角三角形的基礎(chǔ)，解直角三角形的理論又為解決一些實際問題提供了強硬有力的工具，解直角三角形為銳角三角函數(shù)提供了與實際緊密聯(lián)系的沃土。因此本章編寫時，加強了銳角三角函數(shù)與解直角三角形兩大塊內(nèi)容與實際的聯(lián)系。例如，在章前引言中利用確定山坡上所鋪設(shè)的水管的長度問題引出正弦函數(shù)；結(jié)合使用梯子攀登墻面問題引出解直角三角形的概念和方法等。再有，教科書利用背景豐富有趣的四個實際問題，從不同的角度展示了解直角三角形在實際中的廣泛應(yīng)用。教科書這樣將銳角三角函數(shù)和解直角三角形的內(nèi)容與實際問題緊密聯(lián)系，形成“你中有我，我中有你”的格局，一方面可以讓學(xué)生體會銳角三角函數(shù)和解直角三角形的理論來源于實際，是實際的需要，另一方面也讓學(xué)生看到它們在解決實際問題中所起的作用，感受由實際問題抽象出數(shù)學(xué)問題，通過解決數(shù)學(xué)問題得到數(shù)學(xué)問題的答案，再將數(shù)學(xué)問題的答案回到實際問題的這種實踐----理論----實踐的認識過程，這個認識過程符合人的認知規(guī)律，有利于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，豐富有趣的實際問題也能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
（二）加大學(xué)生的思維空間，發(fā)展學(xué)生的思維能力
本章編寫時一方面繼續(xù)保持原有的通過設(shè)置“觀察”“思考”“討論”“探究”“歸納”等欄目來擴大學(xué)生探索交流的空間，發(fā)展學(xué)生的思維能力，同時結(jié)合本章內(nèi)容的特點，又考慮到學(xué)生的年齡特征（學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的學(xué)生已經(jīng)是九年級），對于本章的一些結(jié)論，教科書采用了先設(shè)置一些探究性活動欄目，然后直接給出結(jié)論的做法，而將數(shù)學(xué)結(jié)論的探索過程完全留給學(xué)生，不像前兩個年級那樣，將這些探究過程通過填空或留白等方式展示探索過程來引導(dǎo)學(xué)生進行探究。例如，教科書在詳細研究了正弦函數(shù)，給出正弦函數(shù)的概念之后，設(shè)置了一個“探究”欄目，并提出問題“在直角三角形中，當一個銳角確定時，它的對邊與斜邊的比就隨之確定，那么，此時其他邊之間的比是否也確定了呢？為什么？”，接下去，教科書直接給出了余弦函數(shù)和正切函數(shù)的概念，而將“鄰邊與斜邊的比、對邊與鄰邊的比也分別是確定的”這個結(jié)論的探究過程完全留給學(xué)生自己完成。再如，對于、、這幾個特殊角的三角函數(shù)值，教科書也是首先設(shè)置一個“思考”欄目，在欄目中提出問題“兩塊三角尺中有幾個不同的銳角，分別求出這幾個銳角的正弦值、余弦值和正切值”，然后教科書用一個表格直接給出了這幾個特殊角的三角函數(shù)值，而將這些角的三角函數(shù)值的求解過程留給學(xué)生完成。這樣的一種編寫方式就為學(xué)生提供了更加廣闊的探索空間，開闊思路，發(fā)展學(xué)生的思維能力，有效改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式．
（三）揭示數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)
本章的一個教學(xué)目標是使學(xué)生理解銳角三角函數(shù)的概念，這個概念與學(xué)生以前所學(xué)的一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)有所不同，它反映的不是數(shù)值與數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，而是角度與數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系，學(xué)生初次接觸這種對應(yīng)關(guān)系，理解起來有一定的困難，而這種對應(yīng)關(guān)系對學(xué)生深刻地理解函數(shù)的概念又有很大幫助，因此，教科書針對這種情況，加強了對銳角三角函數(shù)所反映的角度與數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系的刻畫。例如，對于正弦函數(shù)，教科書首先研究了在直角三角形中，和的銳角所對的邊與斜邊的比分別是常數(shù)和，然后就一般情況進行研究，并得出結(jié)論：當一個銳角的度數(shù)一定時，這個角的對邊與斜邊的比也是一個常數(shù)，這樣就突出了銳角與比值的對應(yīng)關(guān)系，即對于每一個銳角，都有一個比值與之對應(yīng)，從而給出正弦函數(shù)的定義。同樣，教科書在闡述余弦函數(shù)和正切函數(shù)時也突出了銳角與“鄰邊與斜邊的比值”之間的對應(yīng)關(guān)系以及銳角與“對邊和鄰邊的比值”之間的對應(yīng)關(guān)系，并在邊注進一步強調(diào)了這種函數(shù)關(guān)系：對于銳角A的每一個確定的值，sinA有唯一確定的值與它對應(yīng)，所以sinA是A的函數(shù)。同樣地，cosA，tanA也是A的函數(shù)。這樣，就可以讓學(xué)生對變量的性質(zhì)以及變量之間的對應(yīng)關(guān)系有更深刻的認識，加深對函數(shù)概念的理解。
微積分的思想在數(shù)學(xué)中占有重要的地位，其基本思想是“化整為零，積零為整”“化曲為直，以直代曲”，這個基本思想是很樸素的，是可以在初等數(shù)學(xué)中反映的。教科書在本章最后，結(jié)合解直角三角形的內(nèi)容，采用與測量大壩的高度和測量山的高度相對比的方式，直觀形象地介紹了在確定山的高度時，如何將山坡“化整為零”，如何將山坡的長度“化曲為直、以直代曲”，又如何將每一部分的高度“積零為整”，這樣編寫的目的是要體現(xiàn)微積分的基本思想，讓學(xué)生通過直觀形象的例子對微積分的基本思想有一個初步的認識。綜上所述，本章編寫時注意突出數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，強調(diào)數(shù)學(xué)思想方法，這有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
三、幾個值得關(guān)注的問題
（一）注意加強知識間的縱向聯(lián)系
第27章“相似”為本章研究銳角三角函數(shù)打下基礎(chǔ)，因為利用“相似三角形的對應(yīng)邊成比例”可以解釋銳角三角函數(shù)定義的合理性。例如，教科書在研究正弦函數(shù)的概念時，利用了“在直角三角形中，所對的邊等于斜邊的一半”，得出了“在一個直角三角形中，如果一個銳角等于，那么不管三角形的大小如何，這個角的對邊與斜邊的比值都等于”。事實上，在直角三角形中，如果一個角等于 ，那么這樣的直角三角形都相似，因此，不管這樣的三角形的大小如何，它們的對應(yīng)邊成比例，這也就是說，對于，雖然教科書是從兩個特殊的直角三角形（的對邊分別是70和50）歸納得到的，但這個結(jié)論是可以從三角形相似的角度來解釋的。同樣，對于有類似的情況。當然，教科書利用相似三角形的有關(guān)結(jié)論解釋了在一般情形中正弦定義的合理性。因此，銳角三角函數(shù)的內(nèi)容與相似三角形是密切聯(lián)系的，教學(xué)中要注意加強兩者之間的聯(lián)系。
全等三角形的有關(guān)理論對理解本章內(nèi)容有積極的作用。例如，在研究解直角三角形時，教科書通過探索得到結(jié)論：事實上，在直角三角形的六個元素中，除直角外，如果在知道兩個元素（其中至少有一個是邊），這個三角形就確定下來了，這樣就可以由已知的兩個元素求出其余的三個元素，這個結(jié)論的獲得實際上利用了直角三角形全等的有關(guān)理論，因為對于兩個直角三角形，如果已知兩個元素對應(yīng)相等，并且其中有一個元素是邊，那么這兩個直角三角形全等，也就是已知一個直角三角形的除直角外的兩個元素，其中至少有一個是邊，這個三角形就確定下來，因此就可以利用這兩個元素求出其余的元素。因此，利用三角形全等的理論，有利于理解解直角三角形的相關(guān)內(nèi)容。教學(xué)中要注意加強知識間的相互聯(lián)系，使學(xué)生的學(xué)習(xí)形成正遷移。
另外，本章所研究的銳角三角函數(shù)反映了銳角與數(shù)值之間的函數(shù)關(guān)系，這雖然與一次函數(shù)、反比例函數(shù)以及二次函數(shù)所反映的數(shù)值與數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系有所不同，但它們都反映了變量之間的對應(yīng)關(guān)系，本質(zhì)上是一致的，因此教學(xué)時，要注意讓學(xué)生體會這些不同函數(shù)之間的共同特征，更好地理解函數(shù)的概念。
（二）注意數(shù)形結(jié)合，自然體現(xiàn)數(shù)與形之間的聯(lián)系
數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，本章內(nèi)容又是數(shù)形結(jié)合的很理想的材料。例如，對于銳角三角函數(shù)的概念，教科書是利用學(xué)生對直角三角形的認識（在直角三角形中，所對的邊等于斜邊的一半，的直角三角形是等腰直角三角形）以及相似三角形的有關(guān)知識引入的，結(jié)合幾何圖形來定義銳角三角函數(shù)的概念，將數(shù)形結(jié)合起來，有利于學(xué)生理解銳角三角函數(shù)的本質(zhì)。再比如，解直角三角形在實際中有著廣泛的作用，在將這些實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，并利用銳角三角函數(shù)解直角三角形時，離不開幾何圖形，這時往往需要根據(jù)題意畫出幾何圖形，通過分析幾何圖形得到邊、角等的關(guān)系，再通過計算、推理等使實際問題得到解決。因此在本章教學(xué)時，要注意加強數(shù)形結(jié)合，在引入概念、推理論述、化簡計算、解決實際問題時，都要盡量畫圖幫助分析，通過圖形幫助找到直角三角形的邊、角之間的關(guān)系，加深對直角三角形本質(zhì)的理解。
